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2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷):理数第17题

  2016-10-28 16:58:03  

(2011安徽卷计算题)

(本小题满分12分)

如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,都是正三角形。

(Ⅰ)证明直线

(Ⅱ)求棱锥的体积。

【出处】
2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷):理数第17题
【答案】

(Ⅰ)过点 ,交于点,连结。由平面 平面,知平面,以为坐标原点 ,轴正向 ,轴正向,轴正向,建立如图所示空间直角坐标系。

由条件知:,则有。所以,即得

(Ⅱ)由, 而是边长为的正三角形,故。所以。过点,交于点,由平面平面知,就是四棱锥的高,且,所以

【解析】

本题主要考查空间向量在立体几何中的应用。

(Ⅰ)本题采用向量法,分别用坐标将表示出来,如果,便可证明

(Ⅱ)本题采用分割法,因为,所以可计算出,利用便可计算出棱锥的体积。

【考点】
空间向量及其运算空间向量的应用空间几何体点、直线、平面的位置关系
【标签】
等价转化思想综合与分析法


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