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2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷):文数第19题

  2016-10-28 09:13:43  

(2011湖南卷计算题)

(本小题满分12分)

如图,在圆锥中,已知的直径的中点,的中点。

(Ⅰ)证明:平面

(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值。

【出处】
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷):文数第19题
【答案】

(Ⅰ)因为的中点,所以

底面底面,所以

是平面内的两条相交直线,所以平面

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面

平面,所以平面平面

在平面中,过,则平面

连结,则在平面上的射影,所以是直线和平面所成的角。

中,

中,

中, 

故直线和平面所成的角的正弦值为

【解析】

本题主要考查直线与平面垂直的判定以及直线与平面夹角的求解。

(Ⅰ)由已知易得,根据直线与平面垂直的判定定理可证。

(Ⅱ)由(Ⅰ)可证平面平面,由平面垂直的性质考虑在平面中过,则平面是直线和平面所成的角,在中求解即可。

【考点】
空间几何体点、直线、平面的位置关系


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