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高考数学必做百题第22题(理科2017版)

  2016-09-08 09:36:11  

 022.如图,等腰梯形$OABC$的底角为${{60}^{\circ }}$,$OA=2$,$BC=1$,记梯形$OABC$位于直线$x=t(t>0)$左侧的图形的面积为$f(t)$. 试求函数$f(t)$的解析式,并画出函数$y=f(t)$的大致图象。

L022-1.png

解:①当$0<t\le \frac{1}{2}$时,
L022-2.png
如图,设直线$x=t$与梯形分别交于$E$、$F$两点,
则$\left| OF \right|=t$,
又$\frac{\left| EF \right|}{\left| OF \right|}=\tan {{60}^{\circ }}=\sqrt{3}$,
∴$\left| EF \right|=\sqrt{3}t$,
∴$f\left( t \right)=\frac{1}{2}\left| OF \right|\cdot \left| EF \right|$ 
$=\frac{1}{2}\cdot t\cdot \sqrt{3}t=\frac{\sqrt{3}}{2}{{t}^{2}}$。
②当$\frac{1}{2}<t\le \frac{3}{2}$时,
L022-3.png
如图,设直线$x=t$与梯形分别交于$D$、$H$两点,
则$\left| OH \right|=t$,
∵$\left| OC' \right|=\frac{1}{2}$,
∴$\left| CD \right|=\left| C'H \right|=t-\frac{1}{2}$
∴$f\left( t \right)=\frac{1}{2}\left( t+t-\frac{1}{2} \right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac{\sqrt{3}}{8}$。 
③当$\frac{3}{2}<t\le 2$时,
L022-4.png
如图,设直线$x=t$与梯形分别交于$D$、$H$两点,则$\left| AN \right|=2-t$,
∵$\left| MN \right|=\left| AN \right|\tan {{60}^{\circ }}=\sqrt{3}\left( 2-t \right)$,
$f\left( t \right)={{S}_{OABC}}-{{S}_{\Delta AMN}}$
$=\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}\cdot \left( 2-t \right)\cdot \sqrt{3}\left( 2-t \right)$
$=\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}{{\left( t-2 \right)}^{2}}$
$=-\frac{\sqrt{3}}{2}{{t}^{2}}+2\sqrt{3}t-\frac{5\sqrt{3}}{4}$。 
④当$t>2$时,$f(t)=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
∴函数$f(t)$的解析式为
$f\left( t \right)= \begin{cases}   \frac{\sqrt{3}}{2}{{t}^{2}},& 0<t\le \frac{1}{2}  \\   \frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac{\sqrt{3}}{8},& \frac{1}{2}<t\le \frac{3}{2}  \\   -\frac{\sqrt{3}}{2}{{t}^{2}}+2\sqrt{3}t-\frac{5\sqrt{3}}{4},& \frac{3}{2}<t\le 2  \\   \frac{3\sqrt{3}}{4},& t>2  \\\end{cases}$
∴函数$y=f(t)$的大致图象为
L022-5.png

 



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