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高考数学必做百题第13题(理科2017版)

  2016-09-08 09:32:12  

 013. 已知函数$f(x)=\dfrac{ax+1}{2-x}\left( a\ne 0 \right)$。

(1)求$f(x)$的定义域与值域; 

(2)讨论$f(x)$在$(2,+\infty )$上单调性。

解:(1)要使函数有意义,则$2-x\ne 0$,解得$x\ne 2$. 

∴函数$f(x)$的定义域是$\left( -\infty ,2 \right)\bigcup \left( 2,+\infty  \right)$。

∵$f(x)=\dfrac{ax+1}{2-x}=\dfrac{-a\left( 2-x \right)+2a+1}{2-x}=-a+\dfrac{2a+1}{2-x}$,

①当$2a+1=0$,即$a=-\dfrac{1}{2}$时,

$f(x)=\dfrac{1}{2}$,其值域是$\{y|y=\dfrac{1}{2}\}$;

②当$2a+1\ne 0$,即$a\ne -\dfrac{1}{2}$时,

$\dfrac{2a+1}{2-x}\ne 0$,

∴$f\left( x \right)\ne -a$,其值域是$\left\{ y|y\ne -a,a\ne 0 \right\}$。

(2)在区间$(2,+\infty )$上任取${{x}_{1}},{{x}_{2}}$,且${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$,则$f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)=-a+\dfrac{2a+1}{2-{{x}_{1}}}-\left( -a+\dfrac{2a+1}{2-{{x}_{2}}} \right)$

$=\dfrac{\left( 2a+1 \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}{\left( 2-{{x}_{1}} \right)\left( 2-{{x}_{2}} \right)}$,

∵${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$,∴${{x}_{1}}-{{x}_{2}}<0$,

又${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( 2,+\infty  \right)$,∴$2-{{x}_{1}}<0,\ 2-{{x}_{2}}<0$, 

∴$\dfrac{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{\left( 2-{{x}_{1}} \right)\left( 2-{{x}_{2}} \right)}<0$。

①若$2a+1>0$,即$a>-\dfrac{1}{2}$且$a\ne 0$时,

$f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)<0$,即$f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$,

∴函数$f(x)$在$(2,+\infty )$上单调递增;

②若$2a+1=0$,即$a=-\dfrac{1}{2}$时,$f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)=0$,

即$f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)$,

∴函数$f(x)=\dfrac{1}{2}$在$(2,+\infty )$上不增不减;

③若$2a+1<0$,即$a<-\dfrac{1}{2}$时,$f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)>0$,

即$f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)$,

∴函数$f(x)$在$(2,+\infty )$上单调递减;

综上所述,

当$a>-\dfrac{1}{2}$且$a\ne 0$时,函数$f(x)$在$(2,+\infty )$上单调递增;

当$a=-\dfrac{1}{2}$时,函数没有单调性;

当$a<-\dfrac{1}{2}$时,函数$f(x)$在$(2,+\infty )$上单调递减。



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