$A$．$1+i$         $B$．$1-i$    

$C$．$-1+i$       $D$．$-1-i$

（2）$\cfrac{{{\left( \sqrt{2}+\sqrt{2}i \right)}^{3}}\left( 4+5i \right)}{\left( 5-4i \right)\left( 1-i \right)}=$________。

解：（1）设$z=a+bi$$\left( a,b\in R \right)$，则

$z\cdot \overline{z}i+2=2z$等价于

$\left( a+bi \right)\left( a-bi \right)i=2\left( a+bi \right)$等价于

$2+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)i=2a+2bi$等价于

$\left\{ \begin{matrix}   2=2a\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}  \\   {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2b  \\\end{matrix} \right.$，解得$\left\{ \begin{matrix}   a=1  \\   b=1  \\\end{matrix} \right.$。

即$z=1+i$。故选$A$。

（2）$\cfrac{{{\left( \sqrt{2}+\sqrt{2}i \right)}^{3}}\left( 4+5i \right)}{\left( 5-4i \right)\left( 1-i \right)}$

$=\cfrac{2\sqrt{2}{{\left( 1+i \right)}^{3}}\left( 5-4i \right)i}{\left( 5-4i \right)\left( 1-i \right)}$

$=\cfrac{2\sqrt{2}{{\left( 1+i \right)}^{4}}i}{2}$$=\sqrt{2}{{\left( 1+i \right)}^{4}}i$

$=\sqrt{2}{{\left( 2i \right)}^{2}}i$$=-4\sqrt{2}i$。

∴$\cfrac{{{\left( \sqrt{2}+\sqrt{2}i \right)}^{3}}\left( 4+5i \right)}{\left( 5-4i \right)\left( 1-i \right)}=-4\sqrt{2}i$。