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高考数学必做百题第08题(理科2017版)

  2016-09-08 09:29:56  

 008.已知点$G$是$\Delta ABO$的重心,$M$是$AB$边的中点。

(1)求$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GO}$;
(2)若$PQ$过$\Delta ABO$的重心$G$,且$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OQ}=n\overrightarrow{b}$,求证:$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=3$。
(1)解:∵$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$,又$2\overrightarrow{GM}=-\overrightarrow{GO}$,∴$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GO}$$=-\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{0}$。
(2)证明:∵=(a+b),
又∵$G$是$\Delta ABO$的重心,
∴$\overrightarrow{OG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a}+\ \overrightarrow{b} \right)$。
由$P,G,Q$三点共线,得$\overrightarrow{PG}//\overrightarrow{GQ},$,
∴有且只有一个实数$\lambda $,使$\overrightarrow{PG}=\lambda \overrightarrow{GQ}$,
而$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a}+\ \overrightarrow{b} \right)-m\overrightarrow{a}=\left( \frac{1}{3}-m \right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\ \overrightarrow{b}$,
$\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OG}=n\overrightarrow{b}-\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a}+\ \overrightarrow{b} \right)=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\left( n-\frac{1}{3} \right)\overrightarrow{b}$,
∴$\left( \frac{1}{3}-m \right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\ \overrightarrow{b}=\lambda \left[ -\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\left( n-\frac{1}{3} \right)\overrightarrow{b} \right]$,
又∵$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$不共线,∴$\left\{ \begin{matrix}   \frac{1}{3}-m=-\frac{1}{3}\lambda   \\   \frac{1}{3}=\lambda \left( n-\frac{1}{3} \right)  \\\end{matrix} \right.$,
消去$\lambda $,整理得$3mn=m+n$,∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=3$。


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