已知数列，从中选取第项、第项、、第项（），若，则称新数列，，，为的长度为的递增子列。规定：数列的任意一项都是的长度为的递增子列。
（Ⅰ）写出数列，，，，，，的一个长度为的递增子列；
（Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为，若，求证：；
（Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个（，，），求数列的通项公式。
（Ⅰ）由递增子列的定义可写出满足题意的长度为的递增子列为：，，，或，，，或，，，或，，，或，，，（答案不唯一，写任意一个即可）。
（Ⅱ）证明：设，
长度为的递增子列为，，，，
则时，
，
由于与均为递增子列，
则，
由于，则，
则，即，
故此时，，，也为长度为的递增子列，
此时 ，
故假设不成立，所以。
（Ⅲ）①令，可知数列中长度为的递增子列末项最小值为。
②令，可知数列中长度为的递增子列末项最小值为，
且长度为的递增子列数为，由于数列各项均为正整数，
则数列中长度为的递增子列只能为，与，，且不存在递增子列，，
故在数列中，数字，，出现的先后顺序为，，。
③令，可知数列中长度为的递增子列末项最小值为，
且末项最小值为，长度为的递增子列数为，
由②可知此时可确定的末项最小值为且长度为的递增子列为，，或，，。
则数字不可以位于数字之后，此时剩下两个子列只可能为，，或，，。
此时在数列中，数字，，，，出现的先后顺序为，，，，。
④令，可知数列中长度为的递增子列末项最小值为，
且长度为的递增子列数为，
由③可知在数列中，数字，，，，出现的先后顺序为，，，，，
为使得数列中长度为的递增子列末项最小值为，则数字的位置应处于数字之后，
即数字，，，，，出现的先后顺序为，，，，，。
（ⅰ）若数字处于之后，此时仅存在个长度为且末项最小值为的递增子列：
，，，；，，，；，，，或，，，，不满足题意。
（ⅱ）若数字处于与之间，则存在数列，，，，不满足题意。
（ⅲ）若数字处于之前，此时仍存在个长度为且末项最小值为的递增子列：
（ⅳ）若数字处于与之间，即数字，，，，，，出现的先后顺序为：
，，，，，，，
此时存在长度为且末项最小值为的递增子列为：
，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；共个，满足题意。
则数字，，，，，，出现的先后顺序为，，，，，，，
综上可猜测：数列中的奇数项依次为：，，，，偶数项依次为：，
即数列的通项公式为，为奇数；，为偶数。
⑤设时，数字，，，，，，，，的出现顺序为：
，，，，，，，，，，，
且此时数列中长度为递增子列末项最小值为，
长度为且末项最小值为的递增子列个数为。
则，数字，，，，，，，，的出现顺序为：
，，，，，，，，，，，，。
即在时，在与之间出现；后出现。
由递增子列的规则知，在时，存在个长度为的递增子列末两项为，；
存在个长度为的递增子列末两项为，。
则此时存在且只存在个长度为的递增子列，其末三项为，，；
存在且只存在个长度为的递增子列，其末三项为，，；
此时不存在其他长度为，末项为的递增子列，
即此时共存在个。
即时的结论依旧成立。
由①②③④知，，，时该结论均成立。
综上，数列的通项公式为。
本题主要考查数列的递推与通项和数列综合。
（Ⅰ）根据递增子列的定义与所给数列可写出满足题意的递增子列。
（Ⅱ）假设，分别设出满足题意的的长度为与的递增子列，通过证明时，不成立可知。
（Ⅲ）通过，，，时的相关数字的位置可推得数列可能的通项公式，设时存在满足题意的递增子列，证明时，满足该规律的递增子列仍存在，则可证明该规律适用于所有的取值，即该通项公式满足题意。
