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2019年高考数学新课标3--理19

  2019-06-17 15:31:56  

(2019新课标Ⅲ卷计算题)

分)图是由矩形和菱形组成的一个平面图形,其中。将其沿折起使得重合,连结,如图

(1)证明:图中的四点共面,且平面平面

(2)求图中的二面角的大小。

【出处】
2019年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷):理数第19题
【答案】

(1)因为四边形为矩形,所以平行且相等。

又因为四边形为菱形,所以平行且相等。

所以图中,平行且相等,四边形为平行四边形,

所以四点共面。

因为四边形为矩形,所以

又因为为直角,所以

又因为,所以平面

又因为平面,所以平面平面

所以四点共面,且平面平面

(2)过点作直线垂直于平面

建立以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过点垂直于平面的直线为轴的空间直角坐标系,如图所示。

由(1)可知,平面

所以平面所在面即为面,且即为平面的法向量。

又因为,则

因为,且四边形为菱形,

过点垂直于轴于点

由此可得

设平面的法向量为

因为

可得

,则,即

又因为为平面的法向量,

设二面角,由图可知

所以,则二面角

【解析】

本题主要考查点、直线、平面的位置关系、空间直角坐标系以及空间向量的应用。

(1)由矩形性质可知,又因为重合且相等,则,点可组成平行四边形,则四点共面;因为四边形为矩形,为直角三角形,则,又因为,所以平面,又因为平面,所以题目得证。

(2)过点作直线垂直于平面,则建立以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过点垂直于平面的直线为轴的空间直角坐标系,因为平面,则即为平面的一个法向量。设平面的一个法向量为,由即可求得,从而的到二面角的余弦值,由特殊角的余弦值可知二面角为

【考点】
点、直线、平面的位置关系空间直角坐标系空间向量的应用


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