91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2019 > 2019年全国2理数 > 正文 返回 打印

2019年高考数学新课标2--理21

  2019-06-17 15:27:20  

(2019新课标Ⅱ卷计算题)

(12分)已知点$A(-2,0)$,$B(2,0)$,动点$M(x,y)$满足直线$AM$与$BM$的斜率之积为$-\dfrac{1}{2}$,记$M$的轨迹为曲线$C$。

(1)求$C$的方程,并说明$C$是什么曲线;

(2)过坐标原点的直线交$C$于$P$,$Q$两点,点$P$在第一象限,$PE \perp x$轴,垂足为$E$,连结$QE$并延长交$C$于点$G$。

(i)证明:$\triangle PQG$是直角三角形;

(ii)求$\triangle PQG$面积的最大值。

【出处】
2019年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷):理数第21题
【答案】

(1)因为动点坐标为

所以设

所以,即),

故曲线是去除点的椭圆。

(2)(i)由(1)知,),

设直线为,由题意得

联立直线与曲线的方程

联立并消去得,

又因为点在第一象限,

解得点,点

又因为轴,垂足为点

所以点

联立并消去

所以,

所以

所以

所以

为直角三角形。

(ii)由(i)知为直角三角形,且

所以

所以

所以

即当时,最大,

时,最大,

【解析】

本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥曲线。

(1)根据斜率之积为,列出等式,即可得到曲线

(2)(i)设出解析式,联立解析式与曲线,得到两点坐标,即可得到点坐标,根据两点坐标得到解析式,联立与曲线,可得点坐标,再根据点坐标,得到斜率。化简可得,得证为直角三角形。

(ii)由(i)知,,所以,,由(i)分别求出,化简可得关于的函数表达式,考虑的取值范围,即可得出的最大值。

【考点】
圆锥曲线直线与圆锥曲线


http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2019/2019qg2/2019-06-17/31808.html