(20)本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识,考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法.满分12分.
解:(i)∵成等比数列,
,
∵成等差数列,∴
,
∴
所以,数列{an}的通项,数列{bn}的通项
(ii)∵,
,
∴,
要比较an与bn的大小,只需比较an2与bn2的大小,
也即比较当时,2n与
的大小.
当n=7时,,
,得知
,
经验证时,均有命题
成立.
猜想当时有
.用数学归纳法证明.
(i)当时,已验证
,命题成立.
(ii)假设n=k(k≥7)时,命题成立,即
,
那么
又当时,有
∴
这就是说,当n=k+1时,命题成立.
根据(i)、(ii),可知命题对于都成立.
故当时,an > bn