§12.2 导数

第十二章极限与导数
§12.2 导数

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
    1、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
    2、了解数列极限和函数极限的概念．
    3、掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
    4、了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
    5、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
    6、熟记基本导数公式．掌握两个函数和、差、商的求导法则．了解复合函数的求导法则．会求某些简单函数的导数．
    7、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．

命题特点
数列的极限在中学数学与高等数学中起着衔接作用，因而它是高考常考内容，多以选择、填空题形式出现，也渗透到解答题中，命题方向逐步由用定义求极限，直接用极限的四则运算法则求极限这些单一考查方面向结合等差、等比数列的计算求极限，结合数列求和法求极限等一些综合考查过渡．函数极限是另一个高考热点，函数在无穷远处的极限，类似于数列的极限，而在

x = x_{0}

处的极限，计算它时有独特方法，比如

x = x_{0}

不在

f (x)

定义域时，往往先采用去零因子(约分)方法，再求极限，对于较为复杂的函数极限计算，可借助于函数极限的四则运算法则处理．
    通过观察、分析等手段利用不完全归纳法得出一个结论，再用数学归纳法去证明该结论也是高考常见题型之一，这里归纳、猜想、证明是不完全归纳法与完全归纳法的综合应用．
    高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下三个方面：
    ①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，这一直是高考常考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题．从而进一步地解决实际问题．
    ②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率是导数的一个重要应用，并且也是高考考查的重点内容之一．函数

y = f (x)

在

x = x_{0}

处的导数，表示曲线在点

P (x_{0}, f (x_{0}))

处的切线斜率．
③运用导数的有关知识，研究函数的单调性是导数的又一重点应用，在高考中占主导地位．

    考点案例
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    一、导数的基本问题
    1、求下列函数的导数
    (1)

y = \frac{1}{x^{2}}

(2)

y = \frac{1}{sin x}

(3)

y = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}

(4)

y = \frac{sin x}{x}

提示	示范
无.
解:(1) $y = x^{- 2}$ , $y' = - 2 x^{- 2 - 1} = - 2 x^{- 3} = \frac{12}{x^{3}}$ (2) $y' = (\frac{1}{sin x})' = \frac{- (sin x)'}{{(sin x)}^{2}} = \frac{- cos x}{{sin}^{2} x} = - \frac{cos x}{{sin}^{2} x}$ (3) $y' = (\frac{1}{x})' + (\frac{2}{x^{2}})' + (\frac{1}{x^{3}})' = (x^{- 1})' + (2 x^{- 2})' + (x^{- 3})' = - x^{- 2} - 4 x^{- 3} - 3 x^{- 4} = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$ (4) $y' = (\frac{sin x}{x})' = \frac{(sin x)' • x - sin x • (x)'}{x^{2}} = \frac{x cos x - sin x}{x^{2}}$ 评注:化简后可直接用导数公式来求解的往往不用运算法则尤其是商的运算法则．对复杂函数求导问题，应先分解函数，使之成为初等函数的复合，然后应用公式、函数的四则运算求导法则和复合函数求导法则进行求导，注意计算的准确性．为了将来求导时方便，最好能记住正切及余切函数的导数公式： $(tan x)' = \frac{1}{{cos}^{2} x}, (cot x)' = - \frac{1}{{sin}^{2} x}$ ．

    二、函数的单调性
    1、(2006年高考山东卷)设函数

f (x) = a x - (a + 1) ln (x + 1) ， 其 中 a \geq - 1, 求 f (x)

的单调区间．

提示

示范

解:由已知得函数

f (x) 的 定 义 域 为 (- 1, + \infty) ， 且 f' (x) = \frac{a x - 1}{x + 1} (a \geq - 1)

．
(1)当

- 1 \leq a \leq 0 时 ， f' (x) < 0 ， 函 数 f (x) 在 (- 1, + \infty)

上单调递减．
(2)当

a > 0 时, 由 f' (x) = 0 ， 解 得 x = \frac{1}{a}

．
f'(x)、f(x)随x的变化情况如下表：

$x$	$(- 1, \frac{1}{a})$	$\frac{1}{a}$	$(\frac{1}{a}, + \infty)$
$f' (x)$	－	0	$+$
$f (x)$	↘	极小值	↗

    从上表可知，
    当 $x \in (- 1, \frac{1}{a}) 时， f' (x) < 0 ，函数 f (x) 在 (- 1, \frac{1}{a})$ 上单调递减．
    当 $x \in (\frac{1}{a}, + \infty) 时， f' (x) > 0 ，函数 f (x) 在 (\frac{1}{a}, + \infty)$ 上单调递增．
    综上所述：
    当 $- 1 \leq a \leq 0 时，函数 f (x) 在 (- 1, + \infty)$ 上单调递减；
    当 $a > 0 时，函数 f (x) 在 (- 1, \frac{1}{a}) 上单调递减，函数 f (x) 在 (\frac{1}{a}, + \infty)$ 上单调递增．

   评注: 利用导数求函数的单调性的步骤是：
    (1)确定 $f (x)$ 的定义域；
    (2)计算导数 $f' (x)$ ；
    (3)令 $f' (x) > 0 (或 f' (x) < 0) ，解出相应的 x 的范围；$
    (4)根据 $f' (x) 的正、负，确定出函数 f (x)$ 的增区间和减区间．
    在上面的步骤中，将(3)和(4)改成：(3)求 $f' (x) = 0$ 的根；(4)用 $f' (x) = 0$ 的根将f(x)的定义域分成若干区间，列表考查这若干个区间内f'(x)的符号，进而确定f(x)的单调区间，这种方法就是列表法．

三、函数的极值与最值
1、(2006年高考福建卷)已知函数

f (x) = - x^{2} + 8 x, g (x) = 6 ln x + m

(1)求

f (x) 在 区 间 [t, t + 1] 上 的 最 大 值 h (t)

；
(2)是否存在实数

m ， 使 得 y = f (x) 的 图 象 与 y = g (x)

的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出

m

的取值范围；若不存在，说明理由．

提示	示范
无.
解:(1) $f (x) = - x^{2} + 8 x = - {(x - 4)}^{2} + 16$ 当 $t + 1 < 4, 即 t < 3 时， f (x) 在 [t, t + 1] 上单调递增， h (t) = f (t + 1) = - {(t + 1)}^{2} + 8 (t + 1) = - t^{2} + 6 t + 7$ ；当 $t \leq 4 \leq t + 1 ，即 3 \leq t \leq 4 时， h (t) = f (4) = 16$ ；当 $t > 4 时， f (x) 在 [t, t + 1] 上单调递减， h (t) = f (t) = - t^{2} + 8 t$ 综上, $h (t) = {\begin{cases} - t^{2} + 6 t + 7 & t < 3 \\ 16 & 3 \leq t \leq 4 \\ - t^{2} + 8 t & t > 4 \end{cases}$ (2)函数 $y = f (x) 的图象与 y = g (x)$ 的图象有且只有三个不同的交点，即函数 $ϕ (x) = g (x) - f (x)$ 的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点． $∵ ϕ (x) = x^{2} - 8 x + 6 ln x + m, ∴ ϕ' (x) = 2 x - 8 + \frac{6}{x} = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6}{x} = \frac{2 (x - 1) (x - 3)}{x} (x > 0)$ ，当 $x \in (0, 1) 时， ϕ' (x) > 0, ϕ (x)$ 是增函数；当 $x \in (1, 3) 时， ϕ' (x) < 0 ， ϕ (x)$ 是减函数；当 $x \in (3, + \infty) 时， ϕ' (x) > 0 ． ϕ (x)$ 是增函数；当 $x = 1, 或 x = 3 时， ϕ' (x) = 0$ $∴ ϕ {(x)}_{极大值} = ϕ (1) = m - 7, ϕ {(x)}_{极小值} = ϕ (3) = m + 6 ln 3 - 15$ $∴ 当 x 充分接近 0 时， ϕ (x) < 0 ，当 x 充分大时， ϕ (x) > 0$ $∴ 要使 ϕ (x)$ 的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需 ${\begin{cases} ϕ {(x)}_{极大值} = m - 7 > 0 \\ ϕ {(x)}_{极小值} = m + 6 ln 3 - 15 < 0 \end{cases}$ 即 $7 < m < 15 - 6 ln 3$ ．所以存在实数m，使得函数 $y = f (x) 与 y = g (x) 的图象有且只有三个不同的交点， m 的取值范围为 (7, 15 - 6 ln 3)$ ．评注:本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力．

考能训练

一、选择题
1、已知曲线

y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 上 一 点 P (1, - \frac{3}{2}), 过 点 P

的切线的倾斜角为( )
A．

30^{0}

B．

45^{0}

C．

135^{0}

D．

165^{0}

2、(2006年东城5月)与直线

4 x - y + 3 = 0 平 行 的 抛 物 线 y = 2 x^{2}

的切线方程是( )
A.

4 x - y + 1 = 0

4 x - y - 1 = 0

4 x - y - 2 = 0

4 x - y + 2 = 0

3、设函数

f_{n} (x) = n^{2} x^{2} {(1 - x)}^{n} (n 为 正 整 数) ， 则 f_{n} (x) 在 [0, 1]

上的最大值为( )
A．0 B．1 C．

{(1 - \frac{2}{2 + n})}^{n}

D．

4 {(\frac{n}{2 + n})}^{n + 2}

4、设

f (x) = \frac{1}{1 + x} ， 且 f (x_{0}) = 17, 则 f [f' (x_{0})]

等于( )
A．289 B．-289 C．

- \frac{1}{288}

D．

- \frac{1}{300}

5、(2005湖南高考，6理)设

f_{0} (x) = sin x, f_{1} (x) = {f'}_{0} (x), f_{2} (x) = {f'}_{1} (x), \dots ， f_{n + 1} (x) = {f'}_{n} (x), n \in ℕ,

则

f_{2005} (x)

等于( )
A．

sin x

B．

- sin x

C．

cos x

D．

- cos x

    二、填空题
    6、(2004湖北高考，16理)某日中午12时整，甲船自A处以16m/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶,则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是______km/h．
    7、(2006山东济宁模拟)函数

f (x) = x^{3} - a x^{2} + x 在 x = 1 处 的 切 线 平 行 于 直 线 y = 2 x ， 则 实 数 a

的值为______
三、解答题
8、已知函数

f (x) = 16 x^{3} - 20 a x^{2} + 8 a^{2} x - a^{3}

,其中

a \neq 0

．
(1)求

f (x)

的极大值与极小值；
(2)设第(1)问中函数取得极大值的点为

P (x, y) ， 求 P

点所在的曲线方程；
(3)设(1)问中函数取得极小值的点为Q(x,y)，求Q点所在的曲线方程．
9、(2005山东高考，19理)已知

x = 1 是 函 数 f (x) = m x^{3} - 3 (m + 1) x^{2} + n x + 1

的一个极值点．其中

m 、 n \in ℝ, m < 0

(1)求

m 与 n

的关系表达式；
(2)求

f (x)

的单调区间；
(3)当

x \in [- 1 ， 1] 时 ， 函 数 y = f (x)

的图象上任意一点的切线斜率恒大于

3 m, 求 m

的取值范围．
10、(2006山东潍坊统考，20)已知函数

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + ln x

．
(1)求函数

f (x) 在 区 间 [1, e]

上的最大值和最小值；
(2)求证：在区间

(1, + \infty) 上 函 数 f (x) 的 图 象 在 函 数 g (x) = \frac{2}{3} x^{3}

的图象的下方；
(3)设

g (x) = f' (x), 证 明 : {[g (x)]}^{n} - g (x^{n}) \geq 2^{n} - 2 ， n \in ℕ^{\cdot}

．

参考答案

一、选择题
1、已知曲线

y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 上 一 点 P (1, - \frac{3}{2}), 过 点 P

的切线的倾斜角为( B )
A．

30^{0}

B．

45^{0}

C．

135^{0}

D．

165^{0}

2、(2006年东城5月)与直线

4 x - y + 3 = 0 平 行 的 抛 物 线 y = 2 x^{2}

的切线方程是( C )
A.

4 x - y + 1 = 0

4 x - y - 1 = 0

4 x - y - 2 = 0

4 x - y + 2 = 0

3、设函数

f_{n} (x) = n^{2} x^{2} {(1 - x)}^{n} (n 为 正 整 数) ， 则 f_{n} (x) 在 [0, 1]

上的最大值为( D )
A．0 B．1 C．

{(1 - \frac{2}{2 + n})}^{n} D ． 4 {(\frac{n}{2 + n})}^{n + 2}

4、设

f (x) = \frac{1}{1 + x} ， 且 f (x_{0}) = 17, 则 f [f' (x_{0})]

等于( C )
A．289 B．-289 C．

- \frac{1}{288} D ． - \frac{1}{300}

5、(2005湖南高考，6理)设

f_{0} (x) = sin x, f_{1} (x) = {f'}_{0} (x), f_{2} (x) = {f'}_{1} (x), \dots ， f_{n + 1} (x) = {f'}_{n} (x), n \in ℕ,

则

f_{2005} (x)

等于( C )
A．

sin x

B．

- sin x

C．

cos x

D．

- cos x

    二、填空题
    6、(2004湖北高考，16理)某日中午12时整，甲船自A处以16m/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶,则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是______km/h．
    答案：-1.6
    7、(2006山东济宁模拟)函数

f (x) = x^{3} - a x^{2} + x 在 x = 1 处 的 切 线 平 行 于 直 线 y = 2 x ， 则 实 数 a

的值为______
    答案：1
    三、解答题
    8、已知函数

f (x) = 16 x^{3} - 20 a x^{2} + 8 a^{2} x - a^{3}

,其中

a \neq 0

．
(1)求

f (x)

的极大值与极小值；
(2)设第(1)问中函数取得极大值的点为

P (x, y) ， 求 P

点所在的曲线方程；
(3)设(1)问中函数取得极小值的点为Q(x,y)，求Q点所在的曲线方程．
答案：(1)当

x = \frac{a}{2}

时,f(x)取极大值

f (\frac{a}{2}) = 0

;当

x = \frac{a}{3}

时，f(x)取极小值

f (\frac{a}{3}) = \frac{a^{3}}{27}

(2)P点的轨迹方程为

y = {\begin{cases} x^{3} & x > 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}

(3)Q点的轨迹方程为

y = {\begin{cases} 0 & x > 0 \\ x^{3} & x < 0 \end{cases}

9、(2005山东高考，19理)已知

x = 1 是 函 数 f (x) = m x^{3} - 3 (m + 1) x^{2} + n x + 1

的一个极值点．其中

m 、 n \in ℝ, m < 0

(1)求

m 与 n

的关系表达式；
(2)求

f (x)

的单调区间；
(3)当

x \in [- 1 ， 1] 时 ， 函 数 y = f (x)

的图象上任意一点的切线斜率恒大于

3 m, 求 m

的取值范围．
答案：(1)

n = 3 m + 6

(2)当

m < 0 时 ， f (x) 在 (- \infty, 1 + \frac{2}{m})

上单调递减，在

(1, + \infty) 上 单 调 递 减 ， 在 (1 + \frac{2}{m}, 1)

上单调递增.
(3)m的取值范围是

- \frac{4}{3} < m < 0

10、(2006山东潍坊统考，20)已知函数

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + ln x

．
(1)求函数

f (x) 在 区 间 [1, e]

上的最大值和最小值；
(2)求证：在区间

(1, + 00) 上 函 数 f (x) 的 图 象 在 函 数 g (x) = \frac{2}{3} x^{3}

的图象的下方；
(3)设

g (x) = f' (x), 证 明 : {[g (x)]}^{n} - g (x^{n}) \geq 2^{n} - 2 ， n \in ℕ^{\cdot}

．
答案：(1)当

x \in [1, e] 时 ， {[f (x)]}_{max} = f (e) = \frac{1}{2} e^{2} + 1, {[f (x)]}_{min} = f (1) = \frac{1}{2}

.
(2)令

F (x) = y (x) - f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - ln x

∵ F ＇ (x) = 2 x^{2} - x - \frac{1}{x} = \frac{(x - 1) (2 x^{2} + x + 1)}{x} ， 当 x > 1 时 ， F ＇ (x) > 0

∴ F (x) 在 (1, + \infty)

上为增函数。
又

F (x) 在 x = 1 处 连 续 ， ∴ F (x) 在 [1, + \infty)

上也为增函数，

∴ 当 x > 1 时 ， F (x) > F (1) = \frac{1}{6}

.即:

\frac{2}{3} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} - ln x > \frac{1}{6} > 0 ， ∴ g (x) > f (x), x \in (1, + \infty)

因此，在区间

(1, + \infty) 上 函 数 f (x) 的 图 象 在 函 数 g (x) = \frac{2}{3} x^{3}

的图象的下方。
(3)

g (x) = f ＇ (x) = x + \frac{1}{x}, 要 证 明 {[g (x)]}^{n} - g (x^{n}) \geq 2^{n} - 2 = 0

只需证明

{(x + \frac{1}{x})}^{n} - (x^{n} + \frac{1}{x^{n}}) \geq 2^{n} - 2

下面用数学归纳法证明：
证明：(1)当

n = 1 时 ， 左 边 = x + \frac{1}{x} - x - \frac{1}{x} = 0, 右 边 = 2^{i} - 2 = 0

命题成立.
(2)假设当

n = k

时命题成立。
即:

{(x + \frac{1}{x})}^{k} - (x^{k} + \frac{1}{x^{k}}) \geq 2^{k} - 2

那么

{(x + \frac{1}{x})}^{k + 1} - (x^{k + 1} + \frac{1}{x^{k + 1}})

= {(x + \frac{1}{x})}^{k} (x + \frac{1}{x}) - (x + \frac{1}{x}) (x^{k} + \frac{1}{x^{k}}) + (x^{k - 1} + \frac{1}{x^{k - 1}})

= (x + \frac{1}{x}) [{(x + \frac{1}{x})}^{k} - (x^{k} + \frac{1}{x^{k}})] + (x^{k - 1} + \frac{1}{x^{k - 1}})

\geq (x + \frac{1}{x}) (2^{k} - 2) + (x^{k - 1} + \frac{1}{x^{k - 1}}) \geq 2 (2^{k} - 2) + 2 = 2^{k + 1} - 2

这就是说当

n = k + 1

时，命题也成立
由(1)(2)知，对一切

n \in ℕ^{\cdot}, 都 有 {[g (x)]}^{n} - g (x^{n}) \geq 2^{n} - 2

    方法感悟
    1、导数概念
    函数

f (x) 在 x = x_{0}

处的导数f'

(x_{0})

的实质是增量之比的极限，但在计算中只取它的应用含义，f'

(x_{0})

是 函 数 f (x) 的 导 函 数 f

'(x)当

x = x_{0}

时的函数值．
若

y = f (x) 在 x_{0}

处可导，则

lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + a Δ x) - (x_{0} + b Δ x)}{Δ x} = a lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + a Δ x) - f (x_{0})}{a Δ x} - b lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + b Δ x) - f (x_{0})}{b Δ x} = a f'

(x_{0})

-bf'

(x_{0})

=(a-b)f'

(x_{0})

(其中

a • b \neq 0)

．
函数

y = f (x) 在 点 x_{0} 处 的 导 数 几 何 意 义 ： 指 曲 线 y = f (x) 在 点 (x_{0}, f (x_{0}))

处的切线的斜率，即f'

(x_{0})

k_{切}

,此切线方程为：y-f

(x_{0})

=f'

(x_{0}) (x - x_{0})

处 ．

2、导数应用
(1)在运用导数判定函数单调性时，应注意

f' (x) > 0

是

f (x)

递增的充分条件而非必要条件，(同样

f' (x) < 0

亦如此)，再求单调区间时，应先确定定义域，然后再根据

f' (x) > 0

（或

f' (x) < 0

）解出定义域内相应x的范围．
(2)对于函数的极值来说，

f' (x_{0}) = 0

是该点为极值点的必要条件，而非充分条件，只有在

x_{0}

左右两侧

f' (x)

异号时，

f (x_{0})

才是极值；极值点是区间内部的点，不会是端点，若

f (x)

在

(a, b)

内有极值，那么

f (x) 在 (a 、 b)

内决不是单调函数；极大值与极小值没有必然的大小关系：一般情况下，当函数

f (x) 在 [a, b]

上连续且有有限个极值点时，函数

f (x) 在 [a, b]

内极大值和极小值交替出现．
(3)在

[a, b]

上连续的函数

f (x)

在

[a, b]

上必有最大值和最小值，设函数

f (x)

在

[a, b]

上连续，在

(a, b)

内可导，求

f (x)

在

[a, b]

上的最值步骤如下：
①求

f (x)

在

(a, b)

内的极值；
②求得

f (x)

的各极值与

f (a) 、 f (b)

比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

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