§1.1 集合的概念与运算

专题十二导数（文）
　

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
    1.了解导数概念的某些实际背景．
    2.理解导数的几何意义．
    3.掌握函数`y＝c(c为常数)，y=x^n”(ninN^*)`的导数公式，会求多项式函数的导数．
    4.理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念．并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭上的最大值和最小值，
   5.会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值。

考点案例
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
　

1、已知曲线`C:y=x^3-3x^2+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线C相工切于点(x_0,y_0)(x_0!=0),`求直线l的方程及切点坐标。

提示	示范
分别求出.
解:.:直线l过原点，`则k=y_0/x_0(x_0!=0).由点(x_0,y_0)在曲线上，得，y=x_0^3-3x_0^2+2x_0，` `y_0/x-0=x_0^2-3x_0+2, .:y'=3x^2-6x+2` `.:k=3x_0^2-6x_0+2,` `又k=y_0/x_0,.:3x_0^2-6x_0+2=y_0/x_0=x_0^2-3x_0+2.` `整理得2x_0^2-3x_0=0,` `.:x_0!=0,.:x_0=3/2,此时y_0=-3/8,k=-1/4,` `因直线l的方程y=-1/4x,，切点坐标为(3/2,-3/8).` 评注:深刻理解曲线切线的定义及导数的几何意义是解答本题的关键，曲线在其上一点`P（x_0,y_0）`处的切线就是其割线PQ的极限位置PT，`函数f(x)在x=x_0处的导数f'(x)=就是曲线y=f(x)在点P(x_0,y_0)处切线的斜率k。`

    2、（2006年高考重庆卷）设函数`f(x)=x^3-3ax^2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11)。`
      (1)求a,b的值；
      (2)讨论函数f(x)的单调性。

提示	示范
将题中.
解:`（1）求导数f'(x)=3x^2-6ax+3b.由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11)` 所以`f(1)=-11,f'(x)=-12`,`{(1-3a+3b=-11),(text{3-6a+3b=-12}):}`解得：a=1,b=-3. (2)由a-1,b=-3得`f'(x)=3x^2-6ax+3b=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3)` 设f'(x)>0,解得x<-1或x>3;又设f'(x)<0，解得-1<x<3. 所以当`xin(-oo,-1)，f(x)是增函数，当xin(3,+oo)，f(x)是增函数，当xin(-1,3)，f(x)`是减函数，评注: 此题考查求导数在求解增减区间中的应用，利用方程组求解函数解析式，再用求导法求单调区间。

    3、已知函数`f(x)=x^3-ax^2+9x+4 (ainRR)`
    (1)求导数f'(x).
    (2)若f(x)有两个不同的极值点，求a的取值范围.
    (3)若f(x)有两个不同的极值点，且两个极值之差为4，求a的值.

提示	示范
`C_U.
解:（1）`由f(x)=x^3-ax^2+9x+4，求导得f'(x)=3x^2-2ax+9` （2）f(x)有两个不同的极值点，则`f(x)=x^3-ax^2+9x+4=0，有两个同的解，`Delta=(2a)^2-4xx3xx9>0, .:a>3sqrt3或a<-3sqrt3 (3)设`f'(x)=3x^2-2ax+9的两根为x_1,x_2` `则x_1+x_2=2a/3,x_1x_2=3.` `.:f(x_1)-f(x_2)=(x_1^3-x_2^3)-a(x_1^2-x_2^2)+9(x_1-x_2)` `=(x_1-x_2)[(x_1+x_2)^2-x_1x_2-a(x_1+x_2)+9]` `=(x_1-x_2)[(2a/3)^2-3-a·2a/3+9]` `=(x_1-x_2)(6-2a^2/9)` `.:f(x_1)-f(x_2)=（x_1-x_2）·（6-2a^2/9）=4` `.:sqrt(4a^2-4xx27/9)xx2/9xx(27-a^2)=4,` `于是(a^2-27)^(3/2)=27，求得a=6,-6` 评注:本题考查了二次方程，韦达定理，导数，直线上两点间的距离等解析几何知识，具有一定的综合性。

    4、已知`f(x)=x^3+ax+bx+c在x=-2/3与x=1时，都取得极值。`
   (1)求a,b的值;
   (2)若对`xin[-1,2],f(x)<c^2`恒成立，求c的取值范围。

提示	示范
集合中的.
解:`（1）f'(x)=3x^2+2ax+b的两根为-2/3和1.` `:.由韦达定根据理，有{(-2/3a=-2/3+1),text{b/3=-2/3xx1}:}:.a=-1/2,b=-2.` `(2)由（1）知当x in [-1,-2/3)时，f'(x)>0;` `当x=-2/3时，f(x)有极大值22/27+c.又f(2)=2+c>22/27+c` `故当xin[-1,2]时，f(x)的最大值为f(2)=2+c..: 对xin[-1,2],f(x)<c^2恒成立，.:c^2>2+c,` `解得C<-1或C>2.故C的取值范围为(-oo,-1)uu(2,+oo).` 评注:`由f(x)<C^2恒成立，则可转化为求f(x)在[-1,2]上的最大值小于c^2，充分体现转化思想。`

5、已知.

提示	示范
(提示内容)
解:由. 评注:解决此题

考能训练(1)

参考答案

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