§12.2 概率与统计(理)

专题十一概率与统计（理）
§11.2 概率与统计

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
    1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事们：概率的意义．
    2.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列、组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率．
    3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算——些事件的概率．
    4.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
    5.了解简单随机抽样，了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样。
    6.会用样本频率分布估计总体分布．
    7.会用样本估计总体期望值和方差．

    考点案例
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是

A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ，

B队队员是

B_{l} ， B_{2} ， B_{3}

，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表所示：

对阵队员	A队队员胜的概率	A队队员负的概率
$A_{1}$ 对B_1	2/3	1/3
$A_{2}$ 对B_2	2/5	3/5
$A_{3}$ 对B_3	2/5	3/5

按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分．设A队，B队最后所得总分分别为 $ξ, η$ ：
(1)求 $ξ, η$ 的概率分布; $E ξ, E η$ 。

提示	示范
分别求出.
解:（1）由于 $ξ = 0, 1, 2, 3,$ 得 $P (ξ = 0) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{25},$ $P (ξ = 1) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{5},$ $P (ξ = 2) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{28}{75},$ $P (ξ = 3) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{8}{75},$ 由 $η = 0, 1, 2, 3$ 同样计算，得 $P (η = 0) = \frac{8}{75}, P (η = 1) = \frac{28}{75} P (η = 2) = \frac{2}{5}, P (η = 3) = \frac{3}{25}$ (2)由期望的定义，得 $E ξ = 0 \times \frac{3}{25} + 1 \times \frac{2}{5} + + 2 \times \frac{28}{75} + 3 \times \frac{8}{75} = \frac{22}{15},$ $E η = 0 \times \frac{8}{75} + 1 \times \frac{28}{75} + + 2 \times \frac{2}{5} + 3 \times \frac{3}{25} = \frac{23}{15},$ 评注:这是一题求两个相互有关联的离散型随机变量的概率分布与数学期望，方差的应用题，要求准确理解题意，确定合理的计算方法，发现隐含条件 $ξ + η = 3$ 是简化计算的关键，像这种类型的实际应用题是近几年高考命题的一大热点。

2、(2006年高考辽宁卷)现在甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元，的概率分别为

\frac{1}{6} ， \frac{1}{2}, \frac{1}{3};

已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是P（0<p<1）,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为xi，对乙项目每投资十万元，

ξ

取0,1,2时，一年后相应利润是1.3万元，1.25万元，0.2万元，随机变量xi_1,xi_2分别表示对甲乙两项目各投资十万元一年后的利润。
(1)求

ξ_{1}, ξ_{2} 的 概 率 分 布 和 数 学 期 望 E ξ_{1}, E ξ_{2};

(2)当

E ξ_{1} < E ξ_{2} 时 ， 求 P 的 取 值 范 围 。

提示

示范

解:（1）

ξ_{1} 的 概 率 分 布 为 ：

$Ξ_{1}$	1.2	1.18	1.17
P	1/6	1/2	1/3

$E ξ_{1} = 1.2 \times \frac{1}{6} + 1.18 \times \frac{1}{2} + 1.17 \times \frac{1}{3} = 1.18$
$由题设得 ξ ~ B (2, P), 即 ξ 的概率分布为：$

$Ξ$	0	1	2
P	${(1 - P)}^{2}$	$2 P (1 - P)$	$P^{2}$

$故 ξ_{2} 的概率分布为：$

$Ξ_{2}$	1.3	1.25	0.2
P	${(1 - P)}^{2}$	$2 P (1 - P)$	$P^{2}$

$∵ ξ_{2} r 数学期望为$
$E ξ_{2} = 1.3 \times {(1 - p)}^{2} + 1.25 \times 2 p (1 - p) + 0.2 \times p^{2}$
$= 1.3 \times (1 - 2 p + p^{2}) + 2.5 \times (p - p^{2}) + 0.2 \times p^{2}$
$= - p^{2} - 0.1 p + 1.3 .$
$(2) 由 E ξ_{1} < E ξ_{2}, 得 - p^{2} - 0.1 p + 1.3 > 1.18, 整理得 (p + 0.4) (p - 0.3) < 0, 解得 - 0.4 < P < 0.3 .$
$∴ 0 < p < 1, ∵ 当 E ξ_{1} < E ξ_{2} 时， p 取值范围是 0 < p < 0.3 .$
评注: 本小题主要考查二项式分布，分布列，数学期望等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力。

3、有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[12．5，15．5)，6；[15．5，18。5)，16；[18，5，21．5)，18；
[21．5，24．5)，22；[24．5，，27．5)，20；[27．5，30，5)，10；[30．5，33．5)，8．

(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；

(3)估计数据小于30．5的概率，

提示

示范

C_{U} .

4、已知.

提示	示范
集合中的.
解:(1). 评注:集合中．

5、已知.

提示	示范
(提示内容)
解:由. 评注:解决此题

考能训练

    一.选择题
    1.(04重庆高考，11)已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡外形与功率都相同且灯口向下放着，现在需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为（）

A \frac{.21}{45} B \frac{.17}{40} C \frac{.3}{10} D \frac{.7}{120}

    2.（04湖南高考，5）某公司甲，乙，丙，丁四个地区分别有150个，120个，180个，150个销售点，公司为了调查产品的情况，需要从这600个销售点中抽取一个容量为100个的样本，记这项调查为（1）：在丙地区中有20 个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为（2）完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为（    ）
   A．分层抽样法，系统抽样法           B．分层抽样法，简单随机抽样法
   C．系统抽样法，分层抽样法           D.简单随机抽样法，分层抽样法
    3.(05山东高考，9理)10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人一张，至少有1人中奖的概率是（）

A . \frac{3}{10} B . \frac{1}{12} C . \frac{1}{2} D . \frac{11}{12}

4.一块各面均涂有油漆的正方体，被锯成1 000个同样大小的正方体，若将这些小正方体均匀搅混在一起，则任
意取出一小正方体恰有两面涂有油漆的概率是…( )

A . \frac{12}{125} B . \frac{3}{25} C . \frac{14}{125} D . \frac{48}{125}

    5.(05湖北黄冈模)袋中有红球3个，白球3个，任抽取一球确认颜色后放回袋中，最多可以取3次，但是取到红球后就不能再取了．若每取一次可以得到10元，那么可得到金额的期望值为…………( )
    A．30元 B．20元 C．17．5元 D．13．75元
    二、填空题
    6.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为___________。
    7.若随机变量xi的概率密度函数f(x)=

{\begin{cases} 0 & x < 1 \\ x+a,1<=x<=2 & if ξ n (- \infty, + \infty 时, f (x) \geq 0) \\ {0} & x > 2 \end{cases}

那么常数a=___________________.
    三.解答题
    8.（04全国高考。20）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则夫规定：答对第一，二，三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别0.8，0.7，0．6，且各题答对与否相互之间不影响。
   (1)求这名同学得300分的概率。
   (2)求这名同学至少得300分的概率。
    9.（06江苏南通调研）在一次军事演习中，某定同时出动了甲乙丙三架战斗机对一军事目标进行轰炸，已知甲击中目标的概率是

\frac{3}{4} ； 甲 、 丙 同 时 轰 炸 一 次 ， 目 标 未 被 击 中 的 概 率 为 去 \frac{1}{12} ；

乙、丙同时轰炸一次，都击中目标的概率是

\frac{1}{4}

    (1)求乙、丙各自击中目标的概率；
    (2)求目标被击中的概率．
     10.(05北京西城模拟)假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0．2，若一周5个下作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元．求：
   (1)一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率(保留两位有效数字)；
   (2)一周5个工作日内利润的期望(保留两位有效数字)．

参与答案

    一.选择题
    1.(04重庆高考，11)已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡外形与功率都相同且灯口向下放着，现在需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为（ D ）

A \frac{.21}{45} B \frac{.17}{40} C \frac{.3}{10} D \frac{.7}{120}

    2.（04湖南高考，5）某公司甲，乙，丙，丁四个地区分别有150个，120个，180个，150个销售点，公司为了调查产品的情况，需要从这600个销售点中抽取一个容量为100个的样本，记这项调查为（1）：在丙地区中有20 个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为（2）完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为（  B ）
   A．分层抽样法，系统抽样法           B．分层抽样法，简单随机抽样法
   C．系统抽样法，分层抽样法           D.简单随机抽样法，分层抽样法
    3.(05山东高考，9理)10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人一张，至少有1人中奖的概率是（ D ）

A . \frac{3}{10} B . \frac{1}{12} C . \frac{1}{2} D . \frac{11}{12}

4.一块各面均涂有油漆的正方体，被锯成1 000个同样大小的正方体，若将这些小正方体均匀搅混在一起，则任
意取出一小正方体恰有两面涂有油漆的概率是…( A )

A . \frac{12}{125} B . \frac{3}{25} C . \frac{14}{125} D . \frac{48}{125}

    5.(05湖北黄冈模)袋中有红球3个，白球3个，任抽取一球确认颜色后放回袋中，最多可以取3次，但是取到红球后就不能再取了．若每取一次可以得到10元，那么可得到金额的期望值为…………( C )
    A．30元 B．20元 C．17．5元 D．13．75元
    二、填空题
    6.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为___________。
    答案：

\frac{3}{7}

7.若随机变量xi的概率密度函数f(x)=

{\begin{cases} 0 & x < 1 \\ x+a,1<=x<=2 & if ξ n (- \infty, + \infty 时, f (x) \geq 0) \\ {0} & x > 2 \end{cases}

那么常数a=___________________.
答案：

- \frac{1}{2}

    三.解答题
    8.（04全国高考。20）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则夫规定：答对第一，二，三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别0.8，0.7，0．6，且各题答对与否相互之间不影响。
   (1)求这名同学得300分的概率。
   (2)求这名同学至少得300分的概率。
    答案：
    9.（06江苏南通调研）在一次军事演习中，某定同时出动了甲乙丙三架战斗机对一军事目标进行轰炸，已知甲击中目标的概率是

\frac{3}{4} ； 甲 、 丙 同 时 轰 炸 一 次 ， 目 标 未 被 击 中 的 概 率 为 去 \frac{1}{12} ；

乙、丙同时轰炸一次，都击中目标的概率是

\frac{1}{4}

    (1)求乙、丙各自击中目标的概率；
    (2)求目标被击中的概率．
    答案：
     10.(05北京西城模拟)假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0．2，若一周5个下作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元．求：
   (1)一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率(保留两位有效数字)；
   (2)一周5个工作日内利润的期望(保留两位有效数字)．
    答案：

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