§10 排列、组合与二项式定理

专题十排列、组合与二项式定理
　

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
    1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．
    2.各理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它们解决—些简单的应用问题．
    3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．
    4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．

    考点案例
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、(2006年高考重庆卷)高三（1）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目，和1个曲艺节目的演出
顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同的排法的种数是(   )

A.1800 B.3600 C.4320 D.5040

提示	示范
分别求出.
解:利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲世节目全排列有A_5^5种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈全排列 $有 A_{6}^{2} 种，所以共有 A_{5}^{5} A_{6}^{2} = 3600$ 选 B 评注:考查有关特殊元素或特殊位置的排列，解题关键是对具有特殊要求的元素，采取优先处理或对具有特殊要求的位置，优先占据。

    2、有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
    (1)甲不在中间也不在两端；
    (2)甲乙必须排在两端
    (3)男女生必须排在一起
    (4)男女相间
    (5)甲乙丙三人从左到右顺序保持一定。

提示	示范
将题中.
解:法一、（1）元素分析法，先排甲有6种，其余有A_8^8种，故共有 $6 A_{8}^{8} = 241920 种排法。$ 法二：位置分析法：中间和两端有 $A_{3}^{3} 种排法，包括甲在内的其余 6 人有 A_{6}^{6} 种，$ 故共有 $A_{3}^{3} A_{6}^{6} ＝ 336 X 720 ＝ 241920 种排法．$ (2)先排甲、乙，再排其余7A． $共有 A_{2}^{2} A_{7}^{7} ＝ 10080 种排法$ (3)捆绑法： $A_{2}^{2} A_{4}^{4} A_{5}^{5} = 5760 种$ （4）插空法：先排4名男生有 $A_{4}^{4} 种方法，再将 5 名女生插空，有 A_{5}^{5} 种方法，故共有 A_{4}^{4} A_{5}^{5} 种排法。$ (5) $C_{9}^{3} A_{6}^{6} = 60480$ 评注: 解决排列、组合综合问题的关键是认真审题，把握问题的实质，分清是排列问题，是组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则： (1)按事情发生的过程进行分步 (2)按元素的性质进行分类．具体地说，解排列组合的应用题，通常有以下途径： ①以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他先素· ②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置· ③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

3、（1）四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法?
(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点．取其畔，4个不共面的点。有多少种不同的取法?

提示	示范
$C_{U} .$
解: (1)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3个点必与点A共面，共有 $3 C_{5}^{3}$ 种取法，含顶点A的三条棱上各有3个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据加法原理，与顶点A共面三点的取法有 $3 C_{5}^{3} 十 3 ＝ 33$ 种． (2)如图，从10个顶点中取4个点的取法有C，种，除去。1点共面的取法种数便可得到结果．从四面体同一个面上的6个点中取出的4点必定共面，有 $4 C_{6}^{4} ＝ 60$ 种．四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面的情形，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面的情形(对棱中点连线两两相交且互相平分）故4个点，不共面的取法为 $C_{10}^{4}$ -(60+6+3)=141种．评注:解决几何计数问题，常采用逆向考法或分类讨论，应充分发挥空间想象能力和图形分析能力，综合运用相关的几何知识，尤其应注意对重复现象的正确判断．

考能训练(1)

  一：选择题
    1.（2005年北京高考，7理）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当不同的排班种数为________(    )

A . C_{14}^{12} C_{12}^{4} C_{8}^{4} B . C_{14}^{12} A_{12}^{4} A_{8}^{4}

C . C_{14}^{12} C_{12}^{4} \frac{C_{8}^{4}}{A_{3}^{3}} D . C_{14}^{12} C_{12}^{4} C_{8}^{4} A_{3}^{3}

设 集 合 A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， 映 射 f : A \to A 满 足 f (1) \leq f (2) \leq f (3) ， 则 这 样 的 映 射 的 个 数 为 ()

A. 900 B. 875 C. 600 D. 500
3.（2004年福建高考，9）已知

{(x - \frac{a}{x})}^{8}

展开式中的常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中稳中
各项系数的和是( )

A {.2}^{8} B {.3}^{8} C .1 或 3^{8} D .1 或 2^{8}

    4.（2005年湖北八校联考）将正方体AC_1的6个面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5个不同的颜色，并且涂好了过顶点A的3个面的颜色，那么余下3个面的涂色方案共有 (    )
    A.15种 B.14种 C.13种 D.12种
    5.

{(2 x + \sqrt{x})}^{4} 的 展 开 式 中 x^{3}

的系数是(    )
    A.6   B.12   C.24   D.48
    二、填空题
    6.某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得两台，不同送法的种数为__________
    7.在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_______行中从左至右第14与第15个数的比为2：3.
    第0行          1
    第1行        1 1
    第2行       1 2 1
    第3行     1 3 3 1
    第4行   1 4 6   4 1
    第5行 1 5 10 10 5 1
    三、解答题：
    8.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（可重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有多少种？
    9.(1)已知

(\sqrt{x} + \frac{1}{3} x^{2})

的展开式中第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14：3，求展开式中不含的x项.

(2) 求 (x - 1) - {(x - 1)}^{2} + {(x - 1)}^{3} - {(x - 1)}^{4} + {(x - 1)}^{5} 的 展 开 式 中 x^{2} 项 的 系 数 。

10.已知集合AB各有12个元素，

A \cap B 有 4

个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C的个数。
（1）

C \subseteq (A \cap B), 且 C 中 含 有 3 个 元 素 ，

（2）

C \cap A \neq 空 集 。

参与答案：

    一、选择题
    1.（2005年北京高考，7理）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当不同的排班种数为________（ A ）

A . C_{14}^{12} C_{12}^{4} C_{8}^{4} B . C_{14}^{12} A_{12}^{4} A_{8}^{4}

C . C_{14}^{12} C_{12}^{4} \frac{C_{8}^{4}}{A_{3}^{3}} D . C_{14}^{12} C_{12}^{4} C_{8}^{4} A_{3}^{3}

设 集 合 A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， 映 射 f : A \to A 满 足 f (1) \leq f (2) \leq f (3) ， 则 这 样 的 映 射 的 个 数 为 （

B ）

A. 900 B. 875 C. 600 D. 500
3.（2004年福建高考，9）已知

{(x - \frac{a}{x})}^{8}

展开式中的常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中稳中
各项系数的和是（ C ）

A {.2}^{8} B {.3}^{8} C .1 或 3^{8} D .1 或 2^{8}

    4.（2005年湖北八校联考）将正方体AC_1的6个面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5个不同的颜色，并且涂好了过顶点A的3个面的颜色，那么余下3个面的涂色方案共有（ C   ）
    A.15种 B.14种 C.13种 D.12种
    5.

{(2 x + \sqrt{x})}^{4} 的 展 开 式 中 x^{3}

的系数是（ C ）
    A.6   B.12   C.24   D.48
    二、填空题
    6.某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得两台，不同送法的种数为__________
    答案：10
    7.在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_______行中从左至右第14与第15个数的比为2：3.
    第0行          1
    第1行        1 1
第2行       1 2 1
    第3行     1 3 3 1
    第4行   1 4 6   4 1
    第5行 1 5 10 10 5 1
    答案：34
    三、解答题：
    8.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（可重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有多少种？
    答案：5种
    9.(1)已知

(\sqrt{x} + \frac{1}{3} x^{2})

的展开式中第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14：3，求展开式中不含的x项.

(2) 求 (x - 1) - {(x - 1)}^{2} + {(x - 1)}^{3} - {(x - 1)}^{4} + {(x - 1)}^{5} 的 展 开 式 中 x^{2} 项 的 系 数 。

答案：(1) 5 (2) -20
10.已知集合AB各有12个元素，

A \cap B 有 4

个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C的个数。
（1）

C \subseteq (A \cap B), 且 C 中 含 有 3 个 元 素 ，

（2）

C \cap A \neq 空 集 。

答案：1084

    方法感悟
    1、运用分类计数原理时，要恰当选择分类标准，做到不重不漏．
    2．运用分步计数原理时，要确定好次序，并且每一步都是独立、互不干扰的，还要注意元素是否可以重复选取。
    3．对于复杂问题，可同时运用两个基本原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．
    二、在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与：组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质．容易产生的错误是重复和遗漏计数．
    常见的解题策略有以下几种：
    (1)特殊元素优先安排的策略；
    (2)合理分类与准确分步的策略；
    (3)排列、组合混合问题先选后排的策略；
    (4)正难则反、等价转化的策略；
    (5)相邻问题捆绑处理的策略；
    (6)不相邻问题插空处理的策略；
    (7)定序问题除法处理的策略；
    (8)分排问题直排处理的策略；
    (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；
    (10)构造模型的策略．
    三、二项式定理
    1．求二项展开式中指定的项，通常是先根据通项公式求出r，再求

T_{r + l}

，有时还需先求n，再求r，才能求出

T_{r + 1}

．
    2．有些二项式展开问题可以先通过变形变成二项式问题加以解决，如例5；对于两个乘积形式的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏．
    3．对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段．
    4．近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项．
    5．用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决．

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