评注:如果动点满足圆锥曲线的定义,便可利用定义直接得出动点的轨迹方程.本题在设直线方程时,没有设成常见的五种形式,而是设成了${\displaystyle x=my+n}$的形式,这种形式简单,更避免了讨论直线斜率是否存在的问题,十分巧妙.

   评注: 本题的关键是:(1)通过${\displaystyle e=\frac{\sqrt[]{2}}{2}}$简化${\displaystyle C}$的方程;(2)从方程入手,通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理讨论相交弦中点 ;(3)熟悉地求出点关于直线对称点坐标;(4)熟悉地解决方程(组)和进行代数运算,难点是解方程(组)及解的取舍,本题对逻辑思维能力和运算能力要求较高.
    本题中“${\displaystyle A，B}$两点关于直线${\displaystyle y=\frac{1}{2}x}$对称”这一条件与变式中“线段${\displaystyle AB}$的中点在直线${\displaystyle y=\frac{1}{2}x}$上”实质上是相同的，只是说法不同而已。
    直线和圆锥曲线的位置关系，从代数的角度看转化为一个二元一次方程与一个二元二次方程组成的方程组的解的研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式${\displaystyle \Delta }$，如若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简单。对于动态问题，注意“动中求静”。

   评注:从向量表示的关系式列出求轨迹方程所必需的关系式,再化简.本题第(2)问,因已给轨迹为椭圆,用待定系数法较好.待定系数法是常用的求轨迹方程的方法,要掌握它的设法技巧.

   评注:如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的第一、第二定义，则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。

    1、如图，定点${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$都在平面${\displaystyle \alpha }$内，定点${\displaystyle P\notin \alpha ,PB\perp \alpha ,C}$是${\displaystyle \alpha }$内易于${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的动点，且${\displaystyle PC\perp AC}$。那么，动点${\displaystyle C}$在平面${\displaystyle \alpha }$内的轨迹是(   )
    A.一条线段，但要去掉两个点         B.一个圆，但要去掉两个点

    C.一个椭圆，但要去掉两个点         D.半圆，但要去掉两个点

    2、[2005全国高考I，5]已知双曲线${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-y^2=1(a>0)}$的一条准线与抛物线${\displaystyle y^2=-6x}$的准线重合，则该双曲线的离心率为(   )
    A.${\displaystyle \frac{\sqrt[]{3}}{2}}$      B.${\displaystyle \frac{3}{2}}$      C.${\displaystyle \frac{\sqrt[]{6}}{2}}$      D.${\displaystyle \frac{2\sqrt[]{3}}{3}}$

    3、[天津高考，5理]设双曲线以${\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1}$长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为(   )
    A.${\displaystyle \pm 2}$     B.${\displaystyle \pm \frac{4}{3}}$     C.${\displaystyle \pm \frac{1}{2}}$     D.${\displaystyle \pm \frac{3}{4}}$

    4、设抛物线${\displaystyle y^2=8x}$的准线与${\displaystyle x}$轴交于${\displaystyle Q}$，若过点${\displaystyle Q}$的直线${\displaystyle l}$与抛物线有公共点，则直线${\displaystyle l}$的斜率的取值范围是(   )
    A.${\displaystyle [-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]}$     B.${\displaystyle [-2，2]}$     C.${\displaystyle [-1，1]}$     D.${\displaystyle [-4，4]}$
    5、[2005山东高考]设直线${\displaystyle l：2x+y+2=0}$关于原点对称的直线为${\displaystyle l\text{'}}$。若${\displaystyle l\text{'}}$与椭圆${\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}=1}$的交点为${\displaystyle A、B，}$点${\displaystyle P}$为椭圆上的动点，则使${\displaystyle △PAB}$的面积为${\displaystyle \frac{1}{2}}$的点${\displaystyle P}$的个数(   )
    A.1      B.2      C.3      D.4

    6、[2004全国高考III，16]设${\displaystyle P}$是曲线${\displaystyle y^2=4(x-1)}$上的一个动点，则点${\displaystyle P}$到点${\displaystyle (0,1)}$的距离与点${\displaystyle P}$到${\displaystyle y}$轴的距离之和的最小值是_______.

    7、双曲线${\displaystyle C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)}$中，${\displaystyle F_1、F_2}$是它的焦点，设抛物线${\displaystyle l}$的焦点与双曲线${\displaystyle C}$的右焦点${\displaystyle F_2}$${\displaystyle P}$是${\displaystyle C}$与${\displaystyle l}$的一个交点，那么${\displaystyle \frac{\left|P{F}_1\right|}{\left|P{F}_2\right|}-\frac{|F_1、F_2|}{\left|P{F}_1\right|}}$=__________________.

    8、[2006天津高考，22]如图以椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)}$的中点${\displaystyle O}$为圆心，分别以${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$为半径作大圆和小圆，过椭圆右焦点${\displaystyle F(c,0)(c>b)}$作垂直于${\displaystyle x}$轴的直线交大圆于第一象限内的点${\displaystyle A}$，连结${\displaystyle OA}$交小圆于点${\displaystyle B}$，设直线${\displaystyle BF}$是小圆的切线。
    (I)证明：${\displaystyle c^2=ab}$，并求直线${\displaystyle BF}$与${\displaystyle y}$轴的交点${\displaystyle M}$的坐标；
    (II)设直线${\displaystyle BF}$交于${\displaystyle P、Q}$两点，证明${\displaystyle \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}{b}^2}$.


    9、[2005湖南高考，19理]已知椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)}$的左、右焦点分别为${\displaystyle F_1、F_2，}$离心率为${\displaystyle e}$，直线${\displaystyle l：y=ex+a}$与${\displaystyle x}$轴、${\displaystyle y}$轴分别交于点${\displaystyle A、B，M}$是直线${\displaystyle l}$与椭圆${\displaystyle C}$的一个公共点，${\displaystyle P}$是点${\displaystyle F_1}$关于直线${\displaystyle l}$的对称点。设${\displaystyle \overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB}}$。
    (1)证明${\displaystyle \lambda =1-e^2;}$
    (2)确定${\displaystyle \lambda }$的值，使得${\displaystyle △P{F}_1{F}_2}$是等腰啊三角形。

    10(探究创新题)以椭圆${\displaystyle x^2+a^2{y}^2=a^2(a>1)}$的一个顶点${\displaystyle C(0,1)}$为直角顶点作比椭圆的内接等腰直角三角形${\displaystyle ABC}$，试问：这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，最多有几个？若不存在，请说明理由。

    C.一个椭圆，但要去掉两个点         D.半圆，但要去掉两个点
    答案:
    2、[2005全国高考I，5]已知双曲线${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-y^2=1(a>0)}$的一条准线与抛物线${\displaystyle y^2=-6x}$的准线重合，则该双曲线的离心率为(   )
    A.${\displaystyle \frac{\sqrt[]{3}}{2}}$      B.${\displaystyle \frac{3}{2}}$      C.${\displaystyle \frac{\sqrt[]{6}}{2}}$      D.${\displaystyle \frac{2\sqrt[]{3}}{3}}$
    答案:
    3、[天津高考，5理]设双曲线以${\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1}$长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为(   )
    A.${\displaystyle \pm 2}$     B.${\displaystyle \pm \frac{4}{3}}$     C.${\displaystyle \pm \frac{1}{2}}$     D.${\displaystyle \pm \frac{3}{4}}$
    答案:
    4、设抛物线${\displaystyle y^2=8x}$的准线与${\displaystyle x}$轴交于${\displaystyle Q}$，若过点${\displaystyle Q}$的直线${\displaystyle l}$与抛物线有公共点，则直线${\displaystyle l}$的斜率的取值范围是(   )
    A.${\displaystyle [-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]}$     B.${\displaystyle [-2，2]}$     C.${\displaystyle [-1，1]}$     D.${\displaystyle [-4，4]}$

    答案:
    5、[2005山东高考]设直线${\displaystyle l：2x+y+2=0}$关于原点对称的直线为${\displaystyle l\text{'}}$。若${\displaystyle l\text{'}}$与椭圆${\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}=1}$的交点为${\displaystyle A、B，}$点${\displaystyle P}$为椭圆上的动点，则使${\displaystyle △PAB}$的面积为${\displaystyle \frac{1}{2}}$的点${\displaystyle P}$的个数(   )
    A.1      B.2      C.3      D.4
    答案:
    6、[2004全国高考III，16]设${\displaystyle P}$是曲线${\displaystyle y^2=4(x-1)}$上的一个动点，则点${\displaystyle P}$到点${\displaystyle (0,1)}$的距离与点${\displaystyle P}$到${\displaystyle y}$轴的距离之和的最小值是_______.
    答案:
    7、双曲线${\displaystyle C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)}$中，${\displaystyle F_1、F_2}$是它的焦点，设抛物线${\displaystyle l}$的焦点与双曲线${\displaystyle C}$的右焦点${\displaystyle F_2}$${\displaystyle P}$是${\displaystyle C}$与${\displaystyle l}$的一个交点，那么${\displaystyle \frac{\left|P{F}_1\right|}{\left|P{F}_2\right|}-\frac{|F_1、F_2|}{\left|P{F}_1\right|}}$=__________________.
    答案:
    8、[2006天津高考，22]如图以椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)}$的中点${\displaystyle O}$为圆心，分别以${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$为半径作大圆和小圆，过椭圆右焦点${\displaystyle F(c,0)(c>b)}$作垂直于${\displaystyle x}$轴的直线交大圆于第一象限内的点${\displaystyle A}$，连结${\displaystyle OA}$交小圆于点${\displaystyle B}$，设直线${\displaystyle BF}$是小圆的切线。
    (I)证明：${\displaystyle c^2=ab}$，并求直线${\displaystyle BF}$与${\displaystyle y}$轴的交点${\displaystyle M}$的坐标；
    (II)设直线${\displaystyle BF}$交于${\displaystyle P、Q}$两点，证明${\displaystyle \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}{b}^2}$.
    答案:
    9、[2005湖南高考，19理]已知椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)}$的左、右焦点分别为${\displaystyle F_1、F_2，}$离心率为${\displaystyle e}$，直线${\displaystyle l：y=ex+a}$与${\displaystyle x}$轴、${\displaystyle y}$轴分别交于点${\displaystyle A、B，M}$是直线${\displaystyle l}$与椭圆${\displaystyle C}$的一个公共点，${\displaystyle P}$是点${\displaystyle F_1}$关于直线${\displaystyle l}$的对称点。设${\displaystyle \overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB}}$。
    (1)证明${\displaystyle \lambda =1-e^2;}$
    (2)确定${\displaystyle \lambda }$的值，使得${\displaystyle △P{F}_1{F}_2}$是等腰啊三角形。
    答案:
    10(探究创新题)以椭圆${\displaystyle x^2+a^2{y}^2=a^2(a>1)}$的一个顶点${\displaystyle C(0,1)}$为直角顶点作比椭圆的内接等腰直角三角形${\displaystyle ABC}$，试问：这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，最多有几个？若不存在，请说明理由。

    答案: