考点案例
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
[缺]
1、已知常数`a>0`，向量`vec(c)=(0,a),vec(i)=(1,0)`.经过原点`O`以`vec(c)+lambdavec(i)`为方向向量的直线与经过定点`A(0,a)`以`vec(i)-2lambdavec(c)`为方向向量的直线相交于点`P`，其中`lambda
inR`。试问：是否存在两个点`E、F`，使得`|PE|+|PF|`为定值。若存在，求出`E、F`的坐标；若不存在，说明理由。
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提示 |
示范 |
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熟悉椭圆定义、标准方程 |
解:`.:vec(i)=(1,0)`,`vec(c)=(0,a)`,
`:.vec(c)+lambdavec(i)=(lambda,a)`,`vec(i)-2lambdavec(c)=(1,-2lambdaa)`.
因此，直线`OP`和`AP`的方程分别为 `lambday=ax` 和`y-a=-2lambdaax`.
消去参数`lambda`，得点`P(x,y)`的坐标满足方程`y(y-a)=-2a^2x^2`.
整理得`x^2/(1/8)+(y-a/2)^2/(a/2)^2=1`,①
因为`a>0`,所以得
(1)当`a=root()(2)/2`时,方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点`E`和`F`；
(2)当`0<a<root()(2)/2时`，方程①表示椭圆方程，
焦点`E(1/2root()(1/2-a^2),a/2)`和`F(-1/2root()(1/2-a^2)`为合乎题意的两个定点；
(3)当`a>root()(2)/2`时，方程①也表示椭圆，焦点`E(0,1/2(a+root()(a^2-1/2)))`和`F(0,1/2(a-root()(a^2-1/2)))`为合乎题意的两个定点。
评注:熟悉椭圆定义、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程所使用的数学思想方法，以达到优化解题思维，简化解题过程目的，但切忌只想不算，形成解题思路后，一定要动手计算，不行成结论就不应该停手。
此题为2003全年高考题，属结论探索型问题。试题新颖、文字表达复杂，以向量和直线为载体，主要考查了椭圆和圆等知识点，体现了在知识交汇点出题这一考试方向，同时对考生运算能力和重要数学思想方法的考查也十分到位。 |
2、椭圆`x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)`与直线`x+y=1`交于`P、Q`两点，且`OP_|_OQ`,其中`O`为坐标原点。
(1)求`1/a^2+1/b^2.`的值。
(2)若椭圆的离心率`e`满足`root()(3)/3<=e<=root()(2)/2`，求椭圆长轴的取值范围。
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提示 |
示范 |
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将题中. |
解:(1)设`P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)`,
由`OP_|_OQ hArrx_1x_2+y_1y_2=0`
`.:y_1=1-x_1,y_2=1-x_2`,代入上式得：
`2x_1x_2-(x_1+x_2)+1=0` ①
又将`y=1-x`代入 `x^2/a^2+y^2/b^2=1 rArr(a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2(1-b^2)=0`,
`.:Delta>0,:.x_1+x_2=(2a^2)/(a^2+b^2)`,
`x_1x_2=(a^2(1-b^2))/(a^2+b^2)`代入①化简得`1/a^2+1/b^2=2`.
(2)`.:e^2=c^2/a^2=1-b^2/a^2`
`:.1/3<=1-b^2/a^2<=1/2 rArr1/2<=b^2/a^2<=2/3`,
又由(1)知`b^2=a^2/(2a^2-1)`
`:.1/2<=1/(2a^2-1)<=2/3 rArr5/4<=a^2<=3/2`
`rArrroot()(5)/2<=a<=root()(6)/2,:.`长轴`2a in[root()(5),root()(6)]`.
评注:
这是一道． |
3、(2006.北京)已知点`M(-2,0)、N(2,0)`,动点`P`满足条件`|PM|-|PN|=2root()(2)`,记动点`P`的轨迹为`W`。
(1)求`W`的方程
(2)若`A、B`是`W`上的不同两点，`O`是坐标原点，求`vec(OA)*vec(OB)`的最小值。
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提示 |
示范 |
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`C_U`. |
解:(1)解：由`|PM|-|PN|=2root()(2)`知动点`P`的轨迹是`M、N`为焦点的双曲线的右支，实半轴长`a=root()(a)`
又半焦距`c=2`,故虚半轴长`b=root()(c^2-a^2)=root()(2)`
所以`W`的方程为`x^2/2-y^2/2=1,x>=root()(2)`
(2)解法1：设`A、B`的坐标分别为`(x_1,y_1)、(x_2,y_2)`
当`AB_|_x`轴时，`x_1=x_2,y_1=-y_2`.
从而`vec(OA)*vec(OB)=x_1x_2+y_1y_2=x_1^2-y_1^2=2`
当`AB`与`x`轴不垂直时，设直线`AB`的方程为`y=kx+m`,与`M`的方程联立，消去`y`得`(1-k^2)x^2-2kmx-m^2-2=0`.
故`x_1+x_2=(2km)/(1-k^2),x_1x_2=(m^2+2)/(k^2-1)`,
所以`vec(OA)*vec(OB)=x_1x_2+y_1y_2=x_1x_2+(kx_1+m)(kx_2+m)`
=`(1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2`=`((1+k^2)(m^2+2))/(k^2-1)+(2k^2m^2)/(1-k^2)+m^2`=`(2k^2+2)/(k^2-1)=2+4/(k^2-1)`.
又因为`x_1x_2>0`,所以`k^2-1>0`,从而`vec(OA)*vec(OB)>2`.
综上，当`AB_|_x`时，`vec(OA)*vec(OB)`取得最小值2。
解法2：设`A、B`的坐标分别为`(x_1,y_1)、(x_2,y_2)`,则`x_i^2-y_i^2=(x_i+y_i)(x_i-y_i)=2(i=1,2)`.
所以`vec(OA)*vec(OB)`=`x_1x_2+y_1y_2=1/4(s_1+t_1)(s_2+t_2)+1/4(s_1-t_1)(s_2-t_2)`
=`1/2s_1s_2+1/2t_1t_2>=root()(s_1s_2t_1t_2)=2`,
当且仅当 `s_1s_2=t_1t_2`，即`{(x_1=x_2),(y_1=-y_2):}`时`"="`号成立，所以`vec(OA)*vec(OB)`的最小值是2。
评注:考查双曲线的定义及向量运算的综合能力。
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4、直线`l`：`ax-y-1=0`与双曲线`C：x^2-2y^2=1`相交于`P、Q`两点。
(1)当实数`a`为何值时，`|PQ|=root()(1+a^2)`
(2)是否存在实数`a`。使得以`PQ`为直径的圆经过坐标原点。若存在，求出`a`的值；若不存在，说明理由。
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提示 |
示范 |
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集合中的. |
解:(1)若设`P、Q`的坐标分别为`(x_1,y_1)、(x_2,y_2)`,则`(x_1,y_1)、(x_2,y_2)`是方程组
`{(ax-y-1=0 ①)`,`(x^2-2y^2-1=0 ②):}`的实数解，
根据此方程组有两个不同解的条件及弦长确定实数`a`的值。将①代入②消去`y`，得`(1-2a^2)x^2+4ax-3=0 ③`
若`1-2a^2=0`，即`a=+-root()(2)/2`时,直线`l`与双曲线的渐近线平行，`l`与`C`只可能有一个交点，
`:.1-2a^2!=0`
当`1-2a^2!=0`时，即`a!=+-root()(2)/2`时，
由方程③的判别式`Delta>0`,得：`-root()(6)/2<a<root()(6)/2`
又`x_1+x_2=(-4a)/(1-2a^2),x_1x_2=(-3)/(1-2a^2)`.
由弦长公式及④，得
`|PQ|=root()(1+a^2)*root()(((-4a)/(1-2a^2))^2-4((-3)/(1-2a^2)))`
据已知`|PQ|=2root()(1+a^2)`
解得`a^2=-1/2(舍去)或a^2=1`
`:.a=+-1`,满足`-root()(6)/2<a<root()(6)/2`。
故所求实数`a`的值为`+-1`。
(2)反证法：假设存在实数`a`的值，使得以`PQ`为直径的院经过坐标原点`O`，则由`OP_|_OQ`,
得`x_1x_2+y_1y_2=0`
又`y_1y_2=(ax_1-1)(ax_2-2)`,
`:.(1+a^2)x_1x_2-a(x_1+x_2)+1=0`
将(1)中的④代入，解得`a^2=-2`,这与`a`为实数矛盾！
故不存在实数`a`的值，使得以`PQ`为直径的圆经过原点。
评注:集合中
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5、若抛物线`y=ax^2-1`上总存在关于直线`x+y=0`对称的两点，求`a`的取值范围。
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提示 |
示范 |
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(提示内容) |
解:设关于`x+y=0`对称的两点为`A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)`则`AB：y=x+m`
由`{(y=x+m),(y=ax^2-1):} rArrax^2-x-m-1=0 (*)`
有`Delta=1+4a(m+1)>0`
由`(*)`得`x_1+x_2=1/a rArrAB`中点横坐标`x_中`=`-m/2`
:.`-m/2=1/2a`
即`ma=-1`并代入①得`a>3/4`.
评注:解决此题 |
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