评注:熟悉椭圆定义、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程所使用的数学思想方法，以达到优化解题思维，简化解题过程目的，但切忌只想不算，形成解题思路后，一定要动手计算，不行成结论就不应该停手。
    此题为2003全年高考题，属结论探索型问题。试题新颖、文字表达复杂，以向量和直线为载体，主要考查了椭圆和圆等知识点，体现了在知识交汇点出题这一考试方向，同时对考生运算能力和重要数学思想方法的考查也十分到位。

   评注: 这是一道．

   评注:考查双曲线的定义及向量运算的综合能力。
　

    根据此方程组有两个不同解的条件及弦长确定实数${\displaystyle a}$的值。将①代入②消去${\displaystyle y}$，得${\displaystyle (1-2a^2)x^2+4ax-3=0③}$
    若${\displaystyle 1-2a^2=0}$，即${\displaystyle a=\pm \frac{\sqrt[]{2}}{2}}$时,直线${\displaystyle l}$与双曲线的渐近线平行，${\displaystyle l}$与${\displaystyle C}$只可能有一个交点，
    ${\displaystyle \therefore 1-2a^2\ne 0}$
    当${\displaystyle 1-2a^2\ne 0}$时，即${\displaystyle a\ne \pm \frac{\sqrt[]{2}}{2}}$时，
    由方程③的判别式${\displaystyle \Delta >0}$,得：
    又${\displaystyle x_1+x_2=\frac{-4a}{1-2a^2},x_1{x}_2=\frac{-3}{1-2a^2}}$.
    由弦长公式及④，得
    ${\displaystyle \left|PQ\right|=\sqrt[]{1+a^2}\cdot \sqrt[]{{\left(\frac{-4a}{1-2a^2}\right)}^2-4\left(\frac{-3}{1-2a^2}\right)}}$
    据已知${\displaystyle \left|PQ\right|=2\sqrt[]{1+a^2}}$
    解得${\displaystyle a^2=-\frac{1}{2}(舍去)或a^2=1}$
    ${\displaystyle \therefore a=\pm 1}$,满足。
    故所求实数${\displaystyle a}$的值为${\displaystyle \pm 1}$。
    (2)反证法：假设存在实数${\displaystyle a}$的值，使得以${\displaystyle PQ}$为直径的院经过坐标原点${\displaystyle O}$，则由${\displaystyle OP\perp OQ}$,
    得${\displaystyle x_1{x}_2+y_1{y}_2=0}$
    又${\displaystyle y_1{y}_2=(a{x}_1-1)(a{x}_2-2)}$,
    ${\displaystyle \therefore (1+a^2)x_1{x}_2-a(x_1+x_2)+1=0}$
    将(1)中的④代入，解得${\displaystyle a^2=-2}$,这与${\displaystyle a}$为实数矛盾！
    故不存在实数${\displaystyle a}$的值，使得以${\displaystyle PQ}$为直径的圆经过原点。

   评注:集合中 ．

   评注:解决此题

 
    10、[2004广西桂林一模]设${\displaystyle F_1、F_2}$分别是椭圆${\displaystyle C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)}$的左、右焦点，l为左准线，${\displaystyle A_1、A_2}$分别是其长轴的左、右端点。
    (1)若椭圆上的点${\displaystyle M(1,\frac{3}{2})}$到${\displaystyle F_1、F_2}$的距离之和为4，求椭圆的方程；
    (2)有一个猜想：“设${\displaystyle P(x_1,y_1)、Q(x_2,y_2)(y_1{y}_2\ne 0)}$是椭圆${\displaystyle C}$上的任意两点，若${\displaystyle P、F_1、Q}$三点共线，则直线${\displaystyle P{A}_1、Q{A}_2、l}$共点。”你认为这个猜想能成立吗？请说明理由。

    答案: 
    10、[2004广西桂林一模]设${\displaystyle F_1、F_2}$分别是椭圆${\displaystyle C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)}$的左、右焦点，l为左准线，${\displaystyle A_1、A_2}$分别是其长轴的左、右端点。
    (1)若椭圆上的点${\displaystyle M(1,\frac{3}{2})}$到${\displaystyle F_1、F_2}$的距离之和为4，求椭圆的方程；
    (2)有一个猜想：“设${\displaystyle P(x_1,y_1)、Q(x_2,y_2)(y_1{y}_2\ne 0)}$是椭圆${\displaystyle C}$上的任意两点，若${\displaystyle P、F_1、Q}$三点共线，则直线${\displaystyle P{A}_1、Q{A}_2、l}$共点。”你认为这个猜想能成立吗？请说明理由。

    答案: