考点案例
(在实践中提高能力,在体验中反思感悟,力求独立,力求提高)
考点一:合理选用直线方程的几种形式
考点二:应用线性规划求最值
考点三:简单线性规划的实际应用
考点四:曲线的交点
1、已知直线`y=2x+b`与圆`x^2+y^2=4`交于A、B两点.
(1)若`k_(OA)*k_(OB)=-1`,求`b`;
(2)若`k_(OA)+k_(OB)=-4/3`,求`b`.
提示 |
示范 |
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本题涉及线与圆相交有关斜率的计算问题,可考虑利用直线方程与圆方程联立消元由韦达定理求解。 |
解:考虑`k=y/x`,构造`x,y`的齐次方程,由`y=2x+b
rArr(y-2x)/b=1`,代入`x^2+y^2=4`.
可得`x^2+y^2=4((y-2x)/b)^2`,两边同除以`x^2`,整理得`(4-b^2)k^2-16k+16-b^2=0`.
(1)由`k_(OA)*k_(OB)=-1`得`(16-b^2)/(4-b^2)=-1`.
`:.b=+-root()(10)`(此时`Delta>0`).
(2)由`k_(OA)+k_(OB)=-4/3`,得`16/(4-b^2)=-4/3`,
`:.b=+-4(此时Delta>0)`.
评注:这是一个具有创新性的解法,完全适合于直线与圆锥曲线的相关问题。不妨在解题过程中尝试。 |
2、过点`P(2,1)`做直线l分别交`x、y`正半轴与`A、B`两点
(1)求`|PA|*|PB|`取得最小值时直线`l`的方程。
(2)求`|OA|*|OB|`取得最小值时直线`l`的方程。
提示 |
示范 |
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由题意知求直线方程应选择适当的形式,本题(1)可用点斜式,也可用向量知识来作,(2)可用斜截式也可用点斜式来作。 |
解:(1)解法一:设直线`l`的方程为:`y-1=k(x-2)(k<0)`,
显然`k`不存在时的直线不符合题意。
令`y=0`,得点`A(2-1/k,0)`;
令`x=0`,得点`B(0,1-2k)`,
`:.|PA|*|PB|=root()((1/k^2+1)(4+k^2))=root()(8+4(k^2+1/k^2))>=4`
当且仅当`k=-1`时取等号,所求直线`l`的方程为`y-1=-1(x-2)`即`x+y-3=0`
解法二:设`A(a,0)、B(0,b)`,设`l`的方程为`x/a+y/b=1`,由于`l`过`P`
`:.2/a+1/b=1`.
`vec(PA)=(a-2,-1), vec(PB)=(-2,b-1)`,
`.: vec(PA)*vec(PB)=|vec(PA)|*|vec(PB)|*cos180^o`,
`:.|vec(PA)|*|vec(PB)|=-vec(PA)*vec(PB)=-[(a-2)xx(-2)+(-1)xx(b-1)]=2a+b-5=(2a+b)(2/a+1/b)-5`
`=(2b)/a+(2a)/b=2(b/a+a/b)>=4root()(a/b*b/a)=4`,
此时`a=b=1/3`,因此`l`的方程为`x+y-3=0`
(2)设直线`l`的方程为`x/a+y/b=1(a>0,b>0)`,
`.:P inl,2/a+1/b=a`,
`:.ab=2b+a>=2root()(ab)`,
`:.ab>=8`由题设`|OA|*|OB|=ab`,
当且仅当`a=2b`即`a=4,b=2`时取等号
所求直线`l`的方程为`x/4+y/2=1`,即`x+2y-4=0`
评注:
要依据求解目标的需要适应选择方程的形式。 |
3、已知`{(x-y+2>=0),(x+y-4>=0),(2x-y-5=0):}`,求
(1)`z=x+2y-4`的最大值;
(2)`z=x^2+y^2-10y+25`的最小值;
(3)`z=(2y+1)/(x+1)`的范围。
提示 |
示范 |
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作出可行域 |
解:作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标`A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)`。
(1)易知可行域内各点均在直线`x+2y-4=0`的上方,故`x+2y-4>0`,将`C(7,9)`代入得z的最大值为21.
(2)`z=x^2+(y-5)^`2表示可行域内任一点`(x,y)`到定点`M(0,5)`的距离的平方,过`M`作直线`AC`的垂线,易知垂足`N`在线段`AC`上,故`z`的最小值是`|MN|=9/2`。
(3)`z=(y-(-1/2))/(x-(-1))`表示可行域内任一点`(x,y)`与定点`Q(-1,-1/2)`连线的斜率的两倍,因为`k_QA=7/4,k_QB=3/8`,故`z`的范围为`[3/4,7/2]`.
评注:充分理解目标函数的几何意义,诸如两点间的距离(或平方)、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等。
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4、(2004.江苏)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目。根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%。投资人计划投资金额
超过10万元,要求确保可能的投资亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
提示 |
示范 |
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本小题主要考查简单线性规划的基本知识,以及运用数学知识解决实际问题是能力。 |
解:设投资人分别利用`x`万元、`y`万元投资甲、乙两个项目,由题意知`{(x+y<=10),(0.3x+0.1y<=1.8),(x>=0),(y>=0):}`目标函数`z=x+0.5y`.
上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域。
作直线`l_0:x+0.5y=0`并作平行于直线`l_0`的一组直线`x+0.5y=z,z inR`.
与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的`M`点,且与直线`x+0.5y=0`的距离最大,这里`M`点是`x+y=10`和`0.3x+0.1y=1.8`的交点。
解方程组`{(x+y=10),(0.3x+0.1y=1.8):}`
得 `x=4,y=6`.
此时`z=1xx4+0.5xx6=7`(万元)
`.:7>0 :.`当`x=4,y=6`时`z`取得最大值。
答:投资人用4万元投资甲项目,6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前题下,使可能的盈利最大。
评注:如何运用数学知识解决实际问题是关键 |
5、(2004.江西)已知两点`M(-2,0)、N(2,0)`,动点`P`在`y`轴上的射影`H`,如果`vec(PH)*vec(PH),vec(PM)*vec(PN)`分别是公比为2的等比数列的第三、第四项,
(1)求动点`P`的轨迹方程`C`;
(2)已知过点`N`的直线`l`交曲线`C`于`x`轴下方两个不同的点`A、B`,设`R`为`AB`的中点,若过点`R`与定点`(0,-2)`的直线交于`x`轴于点`D(x_0,0)`,求`x_0`的取值范围。
提示 |
示范 |
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(提示内容) |
解:(1)设`P(x,y)`,则`H(0,y)`,`vec(PM)=(-2-x,-y),vec(PH)=(-x,0),vec(PN)=(2-x,-y)`,
`:.vec(PH)*vec(PH)=x^2`,`vec(PM)*vec(PN)=x^2-4+y^2.`依题意,得`2x^2=x^2+y^2-4.`
`:.`动点`P`的轨迹方程`C`为`y^2-x^2=4(x!=0)`.
(2)将`y=k(x-2)`代入`y^2-x^2=4`得
`(k^2-1)y^2-4ky-8k^2=0.`
依题意,得`{(k^2-1!=0),(Delta>0),(y_1+y_2<0),(y_1y_2>0):}`解得`root()(2)/2<k<1.`
则`AB`的中点`R`为`((2k^2)/(k^2-1),(2k)/(k^2-1)).`
可得`RQ`的方程为`y+2=(k^2+k-1)/k^2x`,令`y=0,`得`x_0=(2k^2)/(k^2+k-1)=2/(-(1/k-(1/2)^2)+5/4)(root()(2)/2<k<1),`
`:.`由单调性可得`2<x_0<2root()(2)+2`.
评注:解决此题 |
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