第七章直线与圆

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
    1、理解直线的倾斜角的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出方程。
    2、掌握两条直线平行与垂直条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
    3、了解二元一次不等式表示平面区域。
    4、了解线性规划的意义，并会简单的应用。
    5、了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
    6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。

    考点案例
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    考点一：合理选用直线方程的几种形式

　　考点二：应用线性规划求最值

考点三：简单线性规划的实际应用

考点四：曲线的交点

1、已知直线 $y = 2 x + b$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于A、B两点．
　　(1)若 $k_{O A} \cdot k_{O B} = - 1$ ,求 $b$ ；
　　(2)若 $k_{O A} + k_{O B} = - \frac{4}{3}$ ，求 $b$ ．

提示	示范
本题涉及线与圆相交有关斜率的计算问题，可考虑利用直线方程与圆方程联立消元由韦达定理求解。
解:考虑 $k = \frac{y}{x}$ ,构造 $x, y$ 的齐次方程，由 $y = 2 x + b \Rightarrow \frac{y - 2 x}{b} = 1$ ,代入 $x^{2} + y^{2} = 4$ . 可得 $x^{2} + y^{2} = 4 {(\frac{y - 2 x}{b})}^{2}$ ,两边同除以 $x^{2}$ ,整理得 $(4 - b^{2}) k^{2} - 16 k + 16 - b^{2} = 0$ . (1)由 $k_{O A} \cdot k_{O B} = - 1$ 得 $\frac{16 - b^{2}}{4 - b^{2}} = - 1$ . $∴ b = \pm \sqrt[]{10}$ (此时 $Δ > 0$ ). (2)由 $k_{O A} + k_{O B} = - \frac{4}{3}$ ，得 $\frac{16}{4 - b^{2}} = - \frac{4}{3}$ , $∴ b = \pm 4 (此时 Δ > 0)$ . 评注:这是一个具有创新性的解法，完全适合于直线与圆锥曲线的相关问题。不妨在解题过程中尝试。

2、过点

P (2, 1)

做直线l分别交

x 、 y

正半轴与

A 、 B

两点
　　(1)求

| P A | \cdot | P B |

取得最小值时直线

l

的方程。
　　(2)求

| O A | \cdot | O B |

取得最小值时直线

l

的方程。

提示	示范
由题意知求直线方程应选择适当的形式，本题(1)可用点斜式，也可用向量知识来作，(2)可用斜截式也可用点斜式来作。
解:(1)解法一：设直线 $l$ 的方程为： $y - 1 = k (x - 2) (k < 0)$ , 显然 $k$ 不存在时的直线不符合题意。令 $y = 0$ ,得点 $A (2 - \frac{1}{k}, 0)$ ; 令 $x = 0$ ，得点 $B (0, 1 - 2 k)$ , $∴ \| P A \| \cdot \| P B \| = \sqrt[]{(\frac{1}{k^{2}} + 1) (4 + k^{2})} = \sqrt[]{8 + 4 (k^{2} + \frac{1}{k^{2}})} \geq 4$ 当且仅当 $k = - 1$ 时取等号，所求直线 $l$ 的方程为 $y - 1 = - 1 (x - 2)$ 即 $x + y - 3 = 0$ 解法二：设 $A (a, 0) 、 B (0, b)$ ，设 $l$ 的方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ,由于 $l$ 过 $P$ $∴ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ . $\vec{P A} = (a - 2, - 1), \vec{P B} = (- 2, b - 1)$ , $∵ \vec{P A} \cdot \vec{P B} = \| \vec{P A} \| \cdot \| \vec{P B} \| \cdot {cos 180}^{o}$ , $∴ \| \vec{P A} \| \cdot \| \vec{P B} \| = - \vec{P A} \cdot \vec{P B} = - [(a - 2) \times (- 2) + (- 1) \times (b - 1)] = 2 a + b - 5 = (2 a + b) (\frac{2}{a} + \frac{1}{b}) - 5$ $= \frac{2 b}{a} + \frac{2 a}{b} = 2 (\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) \geq 4 \sqrt[]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 4$ , 此时 $a = b = \frac{1}{3}$ ,因此 $l$ 的方程为 $x + y - 3 = 0$ (2)设直线 $l$ 的方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 (a > 0, b > 0)$ , $∵ P \in l, \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = a$ , $∴ a b = 2 b + a \geq 2 \sqrt[]{a b}$ , $∴ a b \geq 8$ 由题设 $\| O A \| \cdot \| O B \| = a b$ , 当且仅当 $a = 2 b$ 即 $a = 4, b = 2$ 时取等号所求直线 $l$ 的方程为 $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$ ,即 $x + 2 y - 4 = 0$ 评注: 要依据求解目标的需要适应选择方程的形式。

3、已知 ${\begin{cases} x - y + 2 \geq 0 \\ x + y - 4 \geq 0 \\ 2 x - y - 5 = 0 \end{cases}$ ,求

    (1) $z = x + 2 y - 4$ 的最大值；
    (2) $z = x^{2} + y^{2} - 10 y + 25$ 的最小值；
    (3) $z = \frac{2 y + 1}{x + 1}$ 的范围。

提示	示范
作出可行域
解:作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标 $A (1 ， 3) 、 B (3 ， 1) 、 C (7 ， 9)$ 。 (1)易知可行域内各点均在直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 的上方，故 $x + 2 y - 4 > 0$ ，将 $C (7, 9)$ 代入得z的最大值为21. (2) $z = x^{2} + {(y - 5)}^{}$ 2表示可行域内任一点 $(x, y)$ 到定点 $M (0, 5)$ 的距离的平方，过 $M$ 作直线 $A C$ 的垂线，易知垂足 $N$ 在线段 $A C$ 上，故 $z$ 的最小值是 $\| M N \| = \frac{9}{2}$ 。 (3) $z = \frac{y - (- \frac{1}{2})}{x - (- 1)}$ 表示可行域内任一点 $(x, y)$ 与定点 $Q (- 1, - \frac{1}{2})$ 连线的斜率的两倍,因为 $k_{Q} A = \frac{7}{4}, k_{Q} B = \frac{3}{8}$ ,故 $z$ 的范围为 $[\frac{3}{4}, \frac{7}{2}]$ . 评注:充分理解目标函数的几何意义,诸如两点间的距离(或平方)、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等。

4、(2004.江苏)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目。根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%。投资人计划投资金额超过10万元，要求确保可能的投资亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

提示	示范
本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题是能力。
解:设投资人分别利用 $x$ 万元、 $y$ 万元投资甲、乙两个项目，由题意知 ${\begin{cases} x + y \leq 10 \\ 0.3 x + 0.1 y \leq 1.8 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ 目标函数 $z = x + 0.5 y$ . 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域。作直线 $l_{0} : x + 0.5 y = 0$ 并作平行于直线 $l_{0}$ 的一组直线 $x + 0.5 y = z, z \in R$ . 与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 $M$ 点，且与直线 $x + 0.5 y = 0$ 的距离最大，这里 $M$ 点是 $x + y = 10$ 和 $0.3 x + 0.1 y = 1.8$ 的交点。解方程组 ${\begin{cases} x + y = 10 \\ 0.3 x + 0.1 y = 1.8 \end{cases}$ 得 $x = 4 ， y = 6$ . 此时 $z = 1 \times 4 + 0.5 \times 6 = 7$ (万元) $∵ 7 > 0 ∴$ 当 $x = 4, y = 6$ 时 $z$ 取得最大值。答:投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前题下，使可能的盈利最大。评注:如何运用数学知识解决实际问题是关键

5、(2004.江西)已知两点

M (- 2, 0) 、 N (2, 0)

,动点

P

在

y

轴上的射影

H

，如果

\vec{P H} \cdot \vec{P H}, \vec{P M} \cdot \vec{P N}

分别是公比为2的等比数列的第三、第四项，
(1)求动点

P

的轨迹方程

C

；
(2)已知过点

N

的直线

l

交曲线

C

于

x

轴下方两个不同的点

A 、 B

，设

R

为

A B

的中点，若过点

R

与定点

(0, - 2)

的直线交于

x

轴于点

D (x_{0}, 0)

，求

x_{0}

的取值范围。

提示	示范
(提示内容)
解:(1)设 $P (x, y)$ ,则 $H (0 ， y)$ ， $\vec{P M} = (- 2 - x, - y), \vec{P H} = (- x, 0), \vec{P N} = (2 - x, - y)$ , $∴ \vec{P H} \cdot \vec{P H} = x^{2}$ , $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = x^{2} - 4 + y^{2} .$ 依题意，得 $2 x^{2} = x^{2} + y^{2} - 4 .$ $∴$ 动点 $P$ 的轨迹方程 $C$ 为 $y^{2} - x^{2} = 4 (x \neq 0)$ . (2)将 $y = k (x - 2)$ 代入 $y^{2} - x^{2} = 4$ 得 $(k^{2} - 1) y^{2} - 4 k y - 8 k^{2} = 0 .$ 依题意，得 ${\begin{cases} k^{2} - 1 \neq 0 \\ Δ > 0 \\ y_{1} + y_{2} < 0 \\ y_{1} y_{2} > 0 \end{cases}$ 解得 $\frac{\sqrt[]{2}}{2} < k < 1 .$ 则 $A B$ 的中点 $R$ 为 $(\frac{2 k^{2}}{k^{2} - 1}, \frac{2 k}{k^{2} - 1}) .$ 可得 $R Q$ 的方程为 $y + 2 = \frac{k^{2} + k - 1}{k^{2}} x$ ,令 $y = 0,$ 得 $x_{0} = \frac{2 k^{2}}{k^{2} + k - 1} = \frac{2}{- (\frac{1}{k} - {(\frac{1}{2})}^{2}) + \frac{5}{4}} (\frac{\sqrt[]{2}}{2} < k < 1),$ $∴$ 由单调性可得 $2 < x_{0} < 2 \sqrt[]{2} + 2$ . 评注:解决此题

考能训练

1、(2006.荷泽) 在平面直角坐标系内，将直线l向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到直线

l'

l

与

l'

间的距离为

\sqrt[]{3}

,则直线

l

的倾斜角为( )
　　A.

a r c tan \frac{2}{3}

a r c tan \frac{3}{2}

π - a r c tan \frac{2}{3}

π - a r c tan \frac{3}{2}

2、(2005.烟台) 函数

y = a sin x - b cos x

的一条对称轴方程为

x = \frac{π}{4}

,则直线

a x - b y + c = 0

的倾斜角为( )
A.

45^{o}

60^{o}

120^{o}

135^{o}

3、已知定点

A (1, 1), B (3, 3)

,动点

P

在

x

轴上，若

∠ A P B

取得最大值，则点

P

的坐标是( )
A.这样的点

P

不存在 B.

(\sqrt[]{2}, 0)

(\sqrt[]{3}, 0)

(\sqrt[]{6}, 0)

4、(2005.全国) 已知过点

A (- 2, m)

和

B (m, 4)

的直线与直线

2 x + y - 1 = 0

平行，则

m

的值为(   )
    A.0     B.-8     C.2     D.10
    5、曲线

y = - \sqrt[1 - x^{2}]{}

与曲线

y + | a x | = 0 (a \in R)

的交点个数一定是( )
A.2个 B.4个 C.0个 D.与

a

的值有关
6、线性目标函数

z = x + y

,在线性约束条件

{\begin{cases} x + y - 3 \leq 0 \\ 2 x - y \leq 0 \\ y \leq a \end{cases}

下，取得最大值时的最优解只有一个，实数

a

的取值范围是_____________.
7、方程

(x + y - 1) \sqrt[]{x^{2} + y^{2} - 4} = 0

表示的曲线是_____________.
8、一直线过

P (1, 2)

点且被两平行直线

l_{1} : 3 x - 3 y + 1 = 0, l_{2} : 3 x - 3 y - 5 = 0

所截线段长为2，求直线方程。

    9、已知点 $A (- a, 0), B (a, 0) (a \in (0, + \infty))$ .
    (1)若动点 $M$ 与 $A 、 B$ 构成直角三角形，求直角顶点 $M$ 的轨迹方程；
    (2)若动点 $M$ 满足条件： $∠ M B A = 2 ∠ M A B$ ,求点 $M$ 的轨迹方程。
    10、已知曲线 $C : x^{2} + y^{2} - 4 a x + 2 a y - 20 + 20 a = 0$ .
    (1)证明不论 $a$ 取何实数，曲线 $C$ 必过定点；
    (2)当 $a \neq 2$ 时，证明曲线 $C$ 是一个圆，且圆心在一条直线上；
    (3)若曲线 $C$ 与 $x$ 轴相切，求 $a$ 的值。

参考答案

1、(2006.荷泽) 在平面直角坐标系内，将直线l向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到直线

l'

l

与

l'

间的距离为

\sqrt[]{3}

,则直线

l

的倾斜角为( )
　　A.

a r c tan \frac{2}{3}

a r c tan \frac{3}{2}

π - a r c tan \frac{2}{3}

π - a r c tan \frac{3}{2}

　　答案：B

2、(2005.烟台) 函数

y = a sin x - b cos x

的一条对称轴方程为

x = \frac{π}{4}

,则直线

a x - b y + c = 0

的倾斜角为( )
A.

45^{o}

60^{o}

120^{o}

135^{o}

答案：D

3、已知定点

A (1, 1), B (3, 3)

,动点

P

在

x

轴上，若

∠ A P B

取得最大值，则点

P

的坐标是( )
A.这样的点

P

不存在 B.

(\sqrt[]{2}, 0)

(\sqrt[]{3}, 0)

(\sqrt[]{6}, 0)

答案：D

4、(2005.全国) 已知过点

A (- 2, m)

和

B (m, 4)

的直线与直线

2 x + y - 1 = 0

平行，则

m

的值为(   )
    A.0     B.-8     C.2     D.10

    答案：B

    5、曲线

y = - \sqrt[1 - x^{2}]{}

与曲线

y + | a x | = 0 (a \in R)

的交点个数一定是( )
A.2个 B.4个 C.0个 D.与

a

的值有关

答案：A

6、线性目标函数

z = x + y

,在线性约束条件

{\begin{cases} x + y - 3 \leq 0 \\ 2 x - y \leq 0 \\ y \leq a \end{cases}

下，取得最大值时的最优解只有一个，实数

a

的取值范围是_____________.

答案：

(- \infty, 2]

7、方程

(x + y - 1) \sqrt[]{x^{2} + y^{2} - 4} = 0

表示的曲线是_____________.

答案：一条直线和圆

8、一直线过

P (1, 2)

点且被两平行直线

l_{1} : 3 x - 3 y + 1 = 0, l_{2} : 3 x - 3 y - 5 = 0

所截线段长为2，求直线方程。

答案：

y = 2

    9、已知点 $A (- a, 0), B (a, 0) (a \in (0, + \infty))$ .
    (1)若动点 $M$ 与 $A 、 B$ 构成直角三角形，求直角顶点 $M$ 的轨迹方程；
    (2)若动点 $M$ 满足条件： $∠ M B A = 2 ∠ M A B$ ,求点 $M$ 的轨迹方程。

    答案：(1) $x^{2} + y^{2} = a^{2} (y \neq 0)$ ；(2) $y = 0 (- a < x < a)$ 或 $3 x^{2} - y^{2} + 2 a x - a^{2} = 0 (x ≻ a)$

    10、已知曲线 $C : x^{2} + y^{2} - 4 a x + 2 a y - 20 + 20 a = 0$ .
    (1)证明不论 $a$ 取何实数，曲线 $C$ 必过定点；
    (2)当 $a \neq 2$ 时，证明曲线 $C$ 是一个圆，且圆心在一条直线上；
    (3)若曲线 $C$ 与 $x$ 轴相切，求 $a$ 的值。

　　答案：(1)略；(2)略；(3) $a = \frac{5 + \sqrt[]{5}}{2}$

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