§6.1 不等式的性质与解法

第六章不等式
§6.1 不等式的性质与解法

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
    1、理解不等式的性质及证明．
    2、掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
    3、掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
    4、掌握简单不等式的解法．
    5、理解不等式

| a | - | b | \leq | a + b | \leq | a | + | b |

．

考点案例
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

    一、不等式的概念与性质
    1、判断下列命题的真假，并说明理由
    (1) $a > b \Rightarrow a c^{2} > b c^{2};$
    (2) $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}} \Rightarrow a > b$ ;
    (3) $a > b, a b \neq 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ；
    (4) $a > b, c < d, c d < 0 \Rightarrow \frac{a}{c} > \frac{b}{d}$ ；
    (5) $a^{4} > b^{4} \Rightarrow | a | > | b |$ ．

提示	示范
无.
解:(1)是假命题，当 $c = 0 时，有 a c^{2} = b c^{2}$ ，故是假命题． (2)是真命题，证明：由 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}} \Rightarrow c^{2} • \frac{a}{c^{2}} > c^{2} • \frac{b}{c^{2}} \Rightarrow a > b$ ,故是真命题． (3)是假命题，例如：取 $a = 1, b = - 1, 由 \frac{1}{a} < \frac{1}{b} \Rightarrow 1 < - 1$ ,是假命题． (4)是假命题，例如：取 $a = 2, b = 1, c = - 1, d = 1 ，由 \frac{a}{c} > \frac{b}{d} \Rightarrow - 2 > 1$ 是假命题． (5)是真命题，证明： $∵ a^{4} > b^{4} \geq 0, ∴ \sqrt[4]{a^{4}} > \sqrt[4]{b^{4}}, ∴ \| a \| > \| b \|$ ，故是真命题．评注:①不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，必须熟练掌握，要注意不等式性质定理中的条件是否为充要条件． ②在判断一个命题是真命题时，要严格推理论证；在判断一个命题是假命题时，或者举出反例，或者由条件推出与结论相反的结果．

二、一元一次与一元二次不等式
1、(2006年潍坊模拟)已知

f (x) = - 3 x^{2} + a (6 - a) x + b

．
(1)解关于

a 的 不 等 式 f (1) > 0

；
(2)当不等式

f (x) > 0 的 解 集 为 (- 1, 3) 时 ， 求 实 数 a 、 b

的值．

提示	示范
无.
解:(1) $f (1) = - a^{2} + 6 a + b - 3 > 0 即 a^{2} - 6 a + 3 - b < 0, Δ = 4 (6 + b)$ $∴ 当 Δ > 0 ，即 b ≻ 6 时， f (1) > 0$ 的解集为 ${a \| 3 - \sqrt{6 + b} < a < 3 + \sqrt{6 + b}};$ 当 $b \leq - 6, 即 Δ \leq 0 时， f (1) > 0$ 的解集为 $\emptyset$ . (2) $f (x) > 0, 即 3 x^{2} - a (6 - a) x - b < 0 的解集为 (- 1, 3)$ $∴ {\begin{cases} - 1 + 3 = \frac{a (6 - a)}{3} \\ (- 1) \times 3 = - \frac{b}{3} \end{cases}$ $∴ a = 3 \pm \sqrt{3}, b = 9$ 评注: 本题考查不等式与二次函数的综合以及判别式法的运用．

三、高次不等式与分式不等式
1、解关于

x 的 不 等 式 ： \frac{x}{x - 1} < 1 - a

提示	示范
无.
解: $\frac{x}{x - 1} < 1 - a \Leftrightarrow \frac{a x - (a - 1)}{x - 1} < 0 \Leftrightarrow [a x - (a - 1)] (x - 1) < 0$ ①当 $a = 0 时，原不等式的解集为 {x \| x < 1}$ ②当 $a > 0 时，可化为 (x - \frac{a - 1}{a}) (x - 1) < 0 ． ∵ \frac{a - 1}{a} < 1 ∴ 解集为 {x \| \frac{a - 1}{a} < x < 1}$ ③当 $a < 0 时，可化为 (x - \frac{a - 1}{a}) (x - 1) > 0 ． ∵ \frac{a - 1}{a} > 1 ∴ 解集为 {x \| x < 1 或 x > \frac{a - 1}{a}}$ 综上：当 $a = 0 时，不等式的解集为 {x \| x < 1}$ ; 当 $a > 0 时，不等式的解集为 {x \| \frac{a - 1}{a} < x < 1}$ ; 当 $a < 0 时，不等式的解集为 {x \| x < 1 或 x > \frac{a - 1}{a}}$ ．评注:解含有参数的不等式时，往往要分类讨论．在讨论时，时常要用到逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，最后给出答案，划分的标准应做到不重不漏．对于含有参数的一元二次不等式求解时，一般是对三个方面分类讨论：一是二次项系数的正、负、零的讨论；二是对二次函数判别式 $Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0$ 的讨论；三是对二次方程两根 $x_{1}, x_{2}$ 大小的讨论．本例是含参数的分式不等式，解分式不等式一般将其转化为整式不等式求解，但也可用穿根法直接求解．

四、含绝对值不等式
1、(2005年高考浙江卷)已知函数

f (x) 和 g (x)

的图象关于原点对称，且

f (x) = x^{2} + 2 x

(1)求函数

g (x)

的解析式；
(2)解不等式

g (x) \geq f (x) - | x - 1 |

．

提示	示范
无.
解:(1)设函数 $y = f (x)$ 的图象上任一点 $Q (x_{0}, y_{0}) 关于原点的对称点为 P (x, y)$ 则 ${\begin{cases} \frac{x_{0} + x}{2} = 0 \\ \frac{y_{0} + y}{2} \end{cases} ，即 {\begin{cases} x_{0} = - x \\ y_{0} = - y \end{cases}$ $∵ 点 Q (x_{0}, y_{0}) 在函数 y = f (x)$ 的图象上， $∵ - y = x^{2} - 2 x, 即 y = - x^{2} + 2 x, 故 g (x) = - x^{2} + 2 x$ ． (2)由 $g (x) \geq f (x) - \| x - 1 \|, 可得 2 x^{2} - \| x - 1 \| \leq 0$ 当 $x \geq 1 时， 2 x^{2} - x + 1 \leq 0$ ，此时不等式无解．当 $x < 1 时， 2 x^{2} + x - 1 \leq 0, ∴ - 1 \leq x \leq \frac{1}{2}$ ．因此，原不等式的解集为 $[- 1, \frac{1}{2}]$ 评注:本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识以及运算和推理能力．

考能训练

1、不等式

{(\frac{1}{2})}^{x^{2}} > 2^{- | x |}

的解集是( )
A．

(- 1, 0)

B．

(0, 1)

C．

(- 1, 1)

D．

(- 1, 0) \cup (0, 1)

2、若不等式

a x^{2} + b x + 1 > 0

的解集为

{x | - \frac{1}{2} < x < 1}

，则( )
A．

a = 2, b = - 1

B．

a = 2, b = 1

C．

a = - 2, b = - 1

D．

a = - 2, b = 1

3、在

x \in (\frac{1}{3}, 3) 上 恒 有 | {log}_{a} x | < 1

成立，则实数a的取值范围是( )
A．

a \geq 3

B．

0 < a \leq \frac{1}{3}

C．

a \geq 3 或 0 < a \leq \frac{1}{3}

D．

a \geq 3 或 0 < a < \frac{1}{3}

4、(2006山东烟台5月高三适应性练习)使关于x的不等式

| x + 1 | + k < x

有解的实数k的取值范围是( )
A．

(- \infty, - 1)

B．

(- \infty, 1)

C．

(- 1, + \infty)

D．

(1, + \infty)

5、设函数

f (x) = {\begin{cases} | x + 1 | & x < 1 \\ 3-x & x \geq 1 \end{cases} ， 则 不 等 式 f (x) \geq 1

的解集是( )
A．

(- \infty, - 2] \cup [1, 2]

B．

(- \infty, - 2) \cup (0, 2)

C．

(- \infty, - 2] \cup [0, 2]

D．

[- 2, 0] \cup [2, + \infty)

6、

\sqrt{x - 3} • (x - 4) \geq 0

的解集是______
7、

a 、 b \in ℝ ， 不 等 式 | a x + 2 | \geq | 2 x + b | 的 解 集 为 实 数 集 ℝ

的充要条件是______
8、若不等式

2 x - 1 > m (x^{2} - 1) 对 满 足 - 2 \leq m \leq 2

的所有m都成立，求x的取值范围．
9、(2006湖北高考，16文)设向量

\vec{a} = (sin x, cos x), \vec{b} = (cos x, cos x), x \in ℝ

,函数

f (x) = \vec{a} • (\vec{a} + \vec{b})

(1)求函数

f (x)

的最大值与最小正周期；
(2)求使不等式

f (x) \geq \frac{3}{2}

成立的x的取值集合．
10、(2006浙江高考，16理)设

f (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c ， 若 a + b + c = 0, f (0) > 0, f (1) > 0

,求证：
(1)

a > 0 且 - 2 < \frac{b}{a} < - 1

；
(2)方程

f (x) = 0 在 (0, 1)

内有两个实根．

参考答案

1、不等式

{(\frac{1}{2})}^{x^{2}} > 2^{- | x |}

的解集是( D )
A．

(- 1, 0)

B．

(0, 1)

C．

(- 1, 1)

D．

(- 1, 0) \cup (0, 1)

2、若不等式

a x^{2} + b x + 1 > 0

的解集为

{x | - \frac{1}{2} < x < 1}

，则( D )
A．

a = 2, b = - 1

B．

a = 2, b = 1

C．

a = - 2, b = - 1

D．

a = - 2, b = 1

3、在

x \in (\frac{1}{3}, 3) 上 恒 有 | {log}_{a} x | < 1

成立，则实数a的取值范围是( C )
A．

a \geq 3

B．

0 < a \leq \frac{1}{3}

C．

a \geq 3 或 0 < a \leq \frac{1}{3}

D．

a \geq 3 或 0 < a < \frac{1}{3}

4、(2006山东烟台5月高三适应性练习)使关于x的不等式

| x + 1 | + k < x

有解的实数k的取值范围是( A )
A．

(- \infty, - 1)

B．

(- \infty, 1)

C．

(- 1, + \infty)

D．

(1, + \infty)

5、设函数

f (x) = {\begin{cases} | x + 1 | & x < 1 \\ 3-x & x \geq 1 \end{cases} ， 则 不 等 式 f (x) \geq 1

的解集是( C )
A．

(- \infty, - 2] \cup [1, 2]

B．

(- \infty, - 2) \cup (0, 2)

C．

(- \infty, - 2] \cup [0, 2]

D．

[- 2, 0] \cup [2, + \infty)

6、

\sqrt{x - 3} • (x - 4) \geq 0

的解集是______
答案：

{x | x = 3 或 x \geq 4}

7、

a 、 b \in ℝ ， 不 等 式 | a x + 2 | \geq | 2 x + b | 的 解 集 为 实 数 集 ℝ

的充要条件是______
答案：

| a | \geq 2 且 a b = 4

8、若不等式

2 x - 1 > m (x^{2} - 1) 对 满 足 - 2 \leq m \leq 2

的所有m都成立，求x的取值范围．
答案：x的取值范围为

\frac{- 1 + \sqrt{7}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{3}}{2}

9、(2006湖北高考，16文)设向量

\vec{a} = (sin x, cos x), \vec{b} = (cos x, cos x), x \in ℝ

,函数

f (x) = \vec{a} • (\vec{a} + \vec{b})

(1)求函数

f (x)

的最大值与最小正周期；
(2)求使不等式

f (x) \geq \frac{3}{2}

成立的x的取值集合．
答案：(1)

f (x) 的 最 大 值 为 \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} ， 最 小 正 周 期 T = π

(2)x的取值集合是

{x | k π - \frac{π}{8} \leq x \leq k π + 3 \frac{π}{8}}

10、(2006浙江高考，16理)设

f (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c ， 若 a + b + c = 0, f (0) > 0, f (1) > 0

,求证：
(1)

a > 0 且 - 2 < \frac{b}{a} < - 1

；
(2)方程

f (x) = 0 在 (0, 1)

内有两个实根．
证明：(1)因为

f (0) > 0, f (1) > 0

，所以

c > 0, 3 a + 2 b + c > 0

,由条件

a + b + c = 0

，消去b得

a > c > 0 ， 由 条 件 a + b + c = 0

，消去c得,

a + b < 0, 2 a + b > 0

.故

- 2 < \frac{b}{a} < - 1

.
(2)抛物线

f (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c 的 顶 点 坐 标 为 (- \frac{b}{3 a}, \frac{3 a c - b^{2}}{3} a)

在

- 2 < \frac{b}{a} < - 1 的 两 边 乘 以 - \frac{1}{3}, 得 \frac{1}{3} < - \frac{b}{3 a} < \frac{2}{3}

又因为

f (0) > 0, f (1) > 0 ， 而 f (- \frac{b}{3 a}) = - \frac{a^{2} + c^{2} - a c}{3 a} < 0

所以方程

f (x) = 0 在 (0, - \frac{b}{3} a) 与 (- \frac{b}{3} a, 1)

内分别有一实根.
故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.

方法感悟
1、不等式的性质是解(证)不等式的基础，对任意两实数a、b，有

a - b > 0 \Leftrightarrow a > b

;

a - b = 0 \Leftrightarrow a = b

;

a - b < 0 \Leftrightarrow a < b

．这是比较两数大小的理论依据，也是学习不等式的基础．
    2、对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件的加强或减弱、条件与结论之间的相互联系．
    3、不等式的性质应用于证明不等式，往往是从条件推出结论的变换关系，而解不等式则要求等价变形．
    4、判断不等式是否成立，常利用不等式的基本性质、函数的单调性和特殊值等方法．
    5、由

a < f_{1} (x_{1}, y_{1}) < b, c < f_{2} (x_{1}, y_{1}) < d ， 求 g (x_{1}, y_{1})

的取值范围，可利用待定系数法解决．设

g (x_{1}, y_{1}) = p f_{1} (x_{1}, y_{1}) + q f_{2} (x_{1}, y_{1})

，用恒等变形待定系数

p ， q ， 可 求 到 g (x_{1}, y_{1})

的取值范围．
6、解决含有绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式去解．脱去绝对值符号的方法主要有：公式法(即利用公式

| x | \leq a (a > 0) \Leftrightarrow - a \leq x \leq a, | x | \geq a (a > 0) \Leftrightarrow x \leq - a 或 x \geq a

)、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为非负的情况下才能施行．因此，我们在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．

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