§4.2 三角函数的图象与性质

第四章数列
§4.2 三角函数的图象与性质

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
    1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．
    2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式：
       `sin^2alpha+cos^2alpha=1`,`sinalpha/cosalpha=tanalpha`,`tanalphacotalpha=1`
       掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．了解奇函数、偶函数的意义．
    3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
    4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
    5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数`y=Asin(omegax+varphi)`的简图，理解`A、omega、varphi`的物理意义．
    6．会用已知三角函数值求角，并会用符号`arcsinx、arcosx、arctanx`表示．
    7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．

考点案例
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

    1、(2006年高考陕西卷)已知函数`f(x)=sqrt(3)sin(2x-pi/6)+2sin^2(x-pi/12)(z∈R)`.
    (1)求函数`f(x)`的最小正周期；
    (2)求使函数`f(x)`取得最大值的`x`的集合．

提示	示范
分别求出.
解:(1)`f(x)=sqrt(3)sin(2x-pi/6)+2sin^2(x-pi/12)` =`sqrt(3)sin2(x-pi/12)-cos2(x-pi/12)+1` =`2[sqrt(3)/2sin2(x-pi/12)-1/2cos(x-pi/12)]+1` =`2sin[2(x-pi/12)-pi/6]+1` =`2sin(2x-pi/3)+1` ∴`T=(2pi)/2=pi`. (2)当`f(x)`取最大值时，`sin(2x-pi/3)=1`，有`2x-pi/3=2kpi+pi/2`，即`x=kpi+(5pi)/12(k∈ZZ)`， ∴所求`x`的集合为`{x\|x=kpi+(5pi)/12，k∈ZZ}`．评注:①本题型是历年来高考的热点题型之一，解题的关键是能正确地将函数化简到“单角单函数”的形式． ②熟记下列变换将有助于提高解题能力： `sinx±cosx=sqrt(2)sin(x±pi/4)`， `sinx±sqrt(3)cosx=2sin(x±pi/3)`， `sqrt(3)sinx±cosx=2sin(x±pi/6)`． ③要熟记`y=sinx`的图象与性质，并能灵活运用到形式稍有不同的题中，如`y=2sin(3x+pi/4)` .

    2、已知函数`f(x)=log_(1/2)(sinx-cosx)`，
    (1)求它的定义域和值域；
    (2)求它的单调区间；
    (3)判断它的奇偶性；
    (4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．．

提示	示范
将题中.
解:(1)由题意得`sinx-cosx>0`，即`sqrt(2)sin(x-pi/4)>O`．从而得`2kpi<x-pi/4<2kpi+pi`． ∴函数`f(x)`的定义域为`(2kpi+pi/4，2kpi+(5pi)/4)(k∈ZZ)`． ∵`0<sin(x-pi/4)≤1`,∴`0<sinx-cosx≤sqrt(2)`，即有`log_(1/2)sqrt(2)≤log_(1/2)(sinx-cosx)`，故函数`f(x)`的值域是`[-1/2，+oo)`． (2)`sinx-cosx=sqrt(2)sin(x-pi/4)`在`f(x)`的定义域上的单调递增区间为`(2kpi+pi/4，2kpi+(3pi)/4)``(k∈ZZ)`，单调递减区间为`[2kpi+(3pi)/4，2kpi+(5pi)/4)``(k∈ZZ)`． ∴函数`f(x)`的单调递增区间为`[2kpi+(3pi)/4，2kpi+(5pi)/4)``(k∈ZZ)`; 单调递减区间为`(2kpi+pi/4，2kpi+(3pi)/4)``(k∈ZZ)`． (3)∵`f(x)`的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称， ∴函数`f(x)`是非奇非偶函数． (4)∵`f(x+2pi)=log_(1/2)[sin(x+2pi)-cos(x-2pi)]=log_(1/2)(sinx-cosx)=f(x)`, ∴`f(x)`是周期函数，最小正周期`T=2pi`．评注: 把复杂的三角函数式统一化为“三个一”，即只含一个角、一种三角函数、一次方的形式就能顺利解决以下几种类型的问题： ①“五点法”作图； ②最小正周期； ③值域(包括最小值、最大值)； ④单调区间．本例若把函数改为`f(x)=log_(1/2)\|sinx-cosx\|`，各问的答案又如何呢? 答案：(1)定义域为`{x\|x∈R且x≠kpi+pi/4，k∈ZZ}`，值域为`[-1/2，+oo)`； (2)单调递增区间是`[kpi-pi/4，kpi+pi/4)`，递减区间是`(kpi+pi/4，kpi+(3pi)/4)`； (3)`f(x)`为非奇非偶函数； (4)周期`T=pi`．

    3、已知函数`f(x)=2sinx(sinx+cosx)`．
    (1)求函数`f(x)`的最小正周期和最大值；
    (2)在给出的直角坐标系中，画出函数`y=f(x)`在区间`[-pi/2，pi/2]`上的图象.

提示

示范

    4、(2005全国高考Ⅲ17)已知函数`f(x)=sin(2x+varphi)(-pi<varphi<0)`，`y=f(x)`图象的一条对称轴是直线`x=pi/8`.
    (1)求`varphi`；(2)求函数`f=(x)`的单调区间；
    (2)证明直线`5x+2y+c=0`与函数`y=f(x)`的图象不相切.

提示	示范
由对称轴是`x=pi/8`，可知`2×pi/8+varphi`使`f(x)`取最值.即`pi/4+varphi=kpi+pi/2(k∈ZZ)`.从而可求`varphi`；由`sinx`的单增区间可求`f(x)=sin(2x+varphi)`的单增区间.由`\|f'(x)\|=\|2cos(2x+varphi)\|≤2`,直线`5x-2y+c=0`的斜率为`5/2>0`说明直线和`f(x)`的图象不能相切.
解:(1)∵`x=pi/8`是函数`y=f(x)`的图象的对称轴 ∴`sin(2*pi/8+varphi)=±1`, 则有`pi/4+varphi=kpi+pi/2,k∈ZZ`. ∵`-pi<varphi<0`, ∴`varphi=-(3pi)/4`. (2)由(1)得`varphi=-(3pi)/4`，∴`y=sin(2x-3/4pi)`, 由题意思得`2kpi-pi/2≤2x-3/4pi≤2kpi+pi/2,(k∈ZZ)`, ∴函数`y=sin(2x-3/4pi)`的单增区间为`[kpi+pi/8,kpi+5/8pi],k∈ZZ`, (3)令`F(x)=sin(2x-3/4pi)`的图象不相切，则`F'(x)=2cos(2x-3/4pi)-5/2`, ∵`-1≤cos(2x-3/4pi)≤1,` ∴`F'(x)≠0`. 则直线`5x+2y+c=0`与函数`y=f(x)`的图象不相切. 评注:本题第(1)(2)问是三角函数中最基本的问题，第(3)问是考查一般函数在某点导数的几何意义，涉及的都是一些基本概念，也是每个同学应该掌握的.

5、(2006山东临汾模拟17)已知集合`A={x||x-a|<ax,a>0},若f(x)=sin(pix)-cos(pix)`在`A`上是增函数，求`a`的最大值.

提示	示范
由`f(x)`在`A`上是增函数，知`A`应包含于`f(x)`的增区间，故需简化，求`f(x)`的单调增区间.
解:由`\|x-a\|<ax`得`{(x-a<ax,),(x-a>-ax):}`, ∴`{((1-a)x<a,),((1+a)x>a,):} (a>0)` 当`1-a>0`,即`0<a<1`时，`{(x<a/(1-a),),(x>a/(1+a)):}` ∴`A={x\|a/(1+a)<x<a/(1-a)}`. `f(x)=sqrt(2)sin(pix-pi/4)`，由`2kpi-pi/2≤pix-pi/4≤2kpi+pi/2`得`2k-1/4≤x≤2k+3/4`. ∵`f(x)`在`A`上为增函数， ∴`{(a/(1+a)≥2k-1/4,),(a/(1-a)≤2k+3/4,):} (k∈ZZ)` ∵`0<a/(1+a)<1,a/(1-a)>1`,∴`k=0`. ∴`{(a/(1+a)≥-1/4,),(a/(1-a)≤3/4,):}` ∴`0<a≤3/7`，即`a`的最大值为`3/7`. 当`1-a<0`即`a>1`时候，`A={x\|x>a/(1+a)}`，与`f(x)`在`A`上单调增不符；当`1-a=0`即`a=1`时候，`A={x\|x>a/(1+a)}`，与`f(x)`在`A`上单调增不符；综上得`a`的最大值为`3/7`. 评注:①`f(x)`的单调递增区间有无数多个，`A`包含于哪个单调区间是解本题的难点和关键，解决这个难点的方法是看`A`的端点的范围. ②解本题分类讨论时，应先讨论`a>1`的情况，因为`a>1`时若有最大值，则不再需要讨论`a≤1`的情况．

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