考点案例
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
1、(2006年高考福建卷)已知数列`{a_n}`满足`a_1=1,a_2=3,a_(n+2)=3a_(n+1)-2a_n(n∈N^**)`．
(1)证明：数列`{a_(n+1)-a_n}`是等比数列；
(2)求数列`{a_n}`的通项公式；
(3)若数列`{b_n}`满足`4^(b_1-1)4^(b_2-1)…4^(b_n-1)=(a_n+1)^b_n(n∈N^**)`．证明：`{b_n}`是等差数列.
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提示 |
示范 |
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分别求出. |
解:(1)证明：
∵`a_(n+2)=3a_(n+1)-2a_n`，
∴`a_(n+2)-a_(n+1)=2(a_(n+1)-a_n)`
∵ `a_1=1,a_2=3`,
∴`(a_(n+2)-a(n+1))/(a_(n+1)-a_n)=2(n∈N^**)`
∴`{a_(n+1)-a_n}`是以`a_2-a_1=2`为首项，2为公比的等比
数列。
(2)由(1)得`a_(n+1)-a_n=2^n(n∈N^**)`，
∴`a_n=(a_n-a_(n_1))+(a_(n_1)-a_(n-2))+…+(a_2-a_1)+a_1`
=`2^(n-1)+2^(n-2)+…+2+1`
=`2^n-1(n∈N^**)`.
(3)证明：∵`4^(b_1-1)4^(b_2-1)…4^(b_n-1)=(a_n+1)^b_n`，
∴`4^((b_1+b^2+…+b_n)-n)=2^(nb_n)`．
∴`2[(b_1+b^2+…+b_n)-n]=nb_n`， ①
`2[(b_1+b^2+…+b_n+b_(n+1))-(n+1)]=(n+1)b_(n+1)`． ②
②-①，得`2(b_(n_1)-1)=(n+1)b_(n+1)-nb_n`，
即`(n-1)b_(n+1)-nb_n+2=0`， ③
`nb_(n+2)-(n+1)b_(n+1)+2=0`． ④
④-③，得`nb_(n+2)-2nb_(n+1)+nb_n=0`，
即`b_(n+2)-2b_(n+1)+b_n=0`，
∴`b_(n+2)-b_(n+1)=b_(n+1)-b_n(n∈N^**)`．
∴`{b_n}`是等差数列．
评注:在判定一个数列是等比数列或等差数列时，应抓住数列的定义进行判定． |
2、(2006年杭州模拟)已知数列`{a_n}`，其中`a_1=1，a_n=3^(n-1)*a_(n-1)(n≥2，n∈N^**)`，数列`{b_n}`的前`n`项和`S_n=log_3(a_n/(9^n))(n∈N^**)`．
(1)求数列`{a_n}`的通项公式；
(2)求数列`{b_n}`的通项公式；
(3)求数列`{|b_n|}`的前`n`项和`T_n`.
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提示 |
示范 |
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将题中. |
解: (1)∵`a_n=3^(n-1)^a_(n-1)(n≥2)`
∴`log_3a_n=log_3a_(n-1)+(n-1)`，累加得`log_3a_n-log_3a_1=1+2+3+…+(n-1)=(n(n-1))/2`，
∴`log_3a_n=(n(n-1))/2`，则`a_n=3^((n(n-1))/2)`．
(或者累乘得`a_n=a_n/a_(n-1)*a_(n-1)/a_(n-2)*…*a_2/a_1*a_1=3^((n(n-1))/2)`)
(2)∵`a_n=3^((n(n-1))/2)`,∴`S_n=log_3(a_n/(9^n))=(n^2-5n)/2(n∈N^**)`，
而`b_1=S_1=-2`，当`n≥2`时，`b_n=S_n-S_(n-1)=n-3`，`n=1`时
也适合，所以`b_n=n-3(n∈N^**)`．
(3)当`b_n=n-3≤0`，即`n≤3`时，`T_n=-S_n=(5n-n^2)/2`，
当`b_n=n-3>0`，即`n>3`时，
`T_n=|b_1|+|b_2|+…|b_n|`
=`(b_1+b_2+…+b_n)-2(b_1+b_2+b_3)`
=`S_n-2S_3`=`(n^2-5n+12)/2`,
综上所述，`T_n={((5n-n^2)/2,(n≤3,且n∈N^**)),((n^2-5n+12)/2,(n>3,且n∈N^**)):}` ．
评注:
①数列中`a_n`与`S_n`的关系是高考的重点，在使用`a_n=S_n-S_(n-1)`时切不可忽视`n≥2`这一条件；
②要掌握两种常用变形：`a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+…+(a_n-a_(n-1))`，`a_n=a_n/a_(n-1)*a_(n-1)/a_(n-2)*…*a_2/a_1*a_1；
③等价转化和分类讨论数学思想也是高考的重点，本题主要运用了这两种数学思想
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3、
(2004年高考湖北卷)设数列`{a_n}`的前`n`项和为`S_n=2n^2`，`{b_n}`为等比数列，且`a_1=b_1`，`b_2(a_2-a_1)=b_1`．
(1)求数列`{a_n}`和`{b_n}`的通项公式；
(2)设`c_n=a_n/b_n`，求数列`{c_n}`的前`n`项和`T_n`．
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提示 |
示范 |
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`C_U. |
解:(1)∵当`n=1`时，`a_1=S_1=2`;
当`n≥2`时，`a_n=S_n-S_(n-1)=2n^2-2(n_1)^2=4n-2`．
故`{a_n}`的通项公式为`a_n=4n-2`，即`{a_n}是`a_1=2`，公差`d=4`的等差数列．
设`{b_n}`的公比为`q`，则`b_1qd=b_1，d=4`，
∴`q=1/4`.
故`b_n=b_1q^(n-1)=2×1/(4^(n-1))`，即`{b_n}`的通项公式为`b_n=2/(4^(n-1))`．
(2)∵`c_n=a_n/b_n=(4n-2)/(2/(4^(n-1)))=(2n-1)4^(n-1)`,
∴`T_n=c_1+c_2+…+c_n=[1+3×4^1+5×4^2+…+(2n-1)4^(n-1)]`，
`4T_n=[1×4+3×4^2+5×4^3+…+(2n-3)4^(n-1)+(2n-1)4^n]`
两式相减得
`3T_n=-1-2(4^1+4^2+4^3+…+(4^(n-1))`
=`1/3[(6n-5)4^n+5]`，
∴`T_n=1/9[(6n-5)4^n+5]`．
评注:本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列浆和的基本方法以及运算能力． |
4、(2006全国高考Ⅱ,文18)记等比数列`{a_n}`的前`n`项和为`S_n`.已知`S_4=1`，`S_8=17`，求`{a_n}`的通项公式.
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提示 |
示范 |
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集合中的. |
解:(1)设`{a_n}`的公式为`q`，由`S_4=1`，`S_8=17`知`q≠1`，所以得
`(a_1(q^4-1))/(q-1)=1`， ①
`(a_1(q^8-1))/(q-1)=17`, ②
由①、②式，得`q^4+1=17`，∴`a^4=16`．
∴`q=2或q=-2`．
将`q=2`代入①式得`a_1=1/15`，所以`a_2=2^(n-1)/15`；
将`q=-2`代入①式得`a_1=-1/5`，
所以`a_n=((-1)^n×2^(n-1))/5`．
评注:本题考查等比数列的通项公式，前`n`项和公式及方程思想、整体思想，特殊注意利用前`n`项和公式时要考虑`q≠1、q=1`两种情况
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5、(2006广东高考19)已知公比为`q(0<q<1)`的无穷等比数列`{a_n}`各项的和为9，无穷等比数列`{a_n^2}`各项的和为`81/5`.
(1)求数列`{a_n}`的首项`a_1`和公比`q`；
(2)对给定的`k(k=1，2，…，”)`，设`T^(k)`是首项为`a_k`，公差为`2a_k-1`的等差数列，求数列`T^(2)`的前10项之和；
(3)设`b^i`为数列`T^(i)`的第`i`项，使`S_n=b_1+b_2+…+b_n`，求`S_n`，并求正整数`m(m>1)`，使得`lim_(n->oo)S_n/T_n`存在且不等于零．
(注：无穷等比数列各项的和即当`n->oo`时该无穷等比数列前”项和的极限).
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提示 |
示范 |
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(提示内容) |
解:(1)由依题意可知，`{(a_1/(1-q)=9,),(a_1^2/(1-q^2)=81/5,):}rArr{(a_1=3,),(q=2/3,):}`．
(2)由(1)得,`a_n=3×(2/3)^(n-1)`，所以数列`T^(2)`的首项为`t_1=a_2=2`,公差`d=2a_2-1=3`,
`S_10=10×2+1/2×10×9×3=155`,
即数列`T^(2)`的前10项之和为155.
(3)`b_i=a_i+(i-1)(2a_i-1)=(2i-1)a_i-(i-1)=3(2i-1)(2/3)^(i-1)-(i-1)`.
`S_n=45-(18n+27)(2/3)^n-(n(n-1))/(2n^m)`,
`lim_(n->oo)S_n/n^m=45/n^m-(18n+27)/n^m(2/3)^n-(n(n-1))/(2n^m)`
当`m=2`时，`lim_(n->oo)S_n/n^m=-1/2`；当`m>2`时,`lim_(n->oo)S_n/n^m=0`,所以`m=2`.
评注:本题是一道数列综合应用题，注意求解过程中的转化与化归． |
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