§1.1 集合的概念与运算

第一章集合与简易逻辑
　

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
    1.理解集合、子集、交集、并集的概念，了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语与符号，并会用它们表示一些简单的集合。
    2.理解逻辑联词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件和充要条件的意义.

    考点案例
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、设向量集合

M = {\vec{a} | \vec{a} = (1 ， 2) + λ (3 ， 4) ， λ \in ℝ}

，

N = {\vec{a} | \vec{a} = (2 ， 3) + λ (4 ， 5) ， λ \in ℝ}

，则M∩N=( )
A.{(1，1)} B. {(1，1)(-2，-2)} C. {(-2，-2)} D.

\emptyset

提示	示范
分别求出.
解: 方法一:令 $\vec{a} = (x ， y)$ 由 $\vec{a} = (1 ， 2) + λ (3 ， 4) = (1 + 3 λ ， 2 + 4 λ)$ ${\begin{cases} x = 1 + 3 λ \\ y = 2 + 4 λ \end{cases} \Rightarrow 4 x - 3 y = 2$ . ∴ $M = {\vec{a} \| \vec{a} = (x ， y) ， 4 x - 3 y = - 2}$ 同理得 $N = {\vec{a} \| \vec{a} = (x ， y) ， 5 x - 4 y = - 2}$ 联立 ${\begin{cases} 4 x - 3 y = - 2 \\ 5 x - 4 y = - 2 \end{cases} \Rightarrow x = y = - 2$ 故M∩N= ${\vec{a} \| \vec{a} = (- 2 ， - 2)}$ 方法二:利用验证法，若M∩N={(-2，-2)}，则 ${\begin{cases} (- 2 ， - 2) = (1 + 3 λ ， 2 + 4 λ) \\ (- 2 ， - 2) = (2 + 4 λ ， 3 + 5 λ) \end{cases}$ 即 ${\begin{cases} - 2 = 1 + 3 λ \\ - 2 = 2 + 4 λ \\ - 2 = 3 + 5 λ \end{cases}$ ∵ $λ \in ℝ$ ∴ $λ = - 1 \in ℝ$ 若若M∩N={(1，1)}，易确定不适合，故选C. 评注:对解答集合问题，必须弄清题目的要求，正确理解各个集合的含义，再对集合进行了简化，借助数轴或韦恩图进而使问题等到解决.本题以集合为载体考查向量、直线等知识，解答过程体现了消参数的方法(如消去λ得直线方程4x-3y=-2)，数学的转化思想(如①向量与坐标的转化;②直线的交点坐标与方程组解的转化).

2、设函数

f (x) = - \frac{x}{1 + | x |} (x \in ℝ)

，区间

M = [a ， b] (a ＜ b)

，集合

N = {y | y = f (x) ， x \in M}

，则使

M = N

成立的实数对(a，b)有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个

提示	示范
将题中.
解:由集合的符号描述法的含义知，集合N即为定义在[a，b]上的函数f(x)的值域，而 $f (x) = - \frac{x}{1 + \| x \|}$ 为奇函数，且x≥0时， $f (x) = - \frac{x}{1 + \| x \|}$ 递减。 ∴f(x)在R上递减， ∴由 $M = N$ 知 $f (a) = b$ 且 $f (b) = a$ ，即 $- \frac{a}{1 + \| a \|} = b$ 且 $- \frac{b}{1 + \| b \|} = a$ ∴a，b异号，而 $a ＜ b$ ， ∴ $a ＜ 0$ 且 $b ＞ 0$ ∴ $- \frac{a}{1 - a} = b 且 - \frac{b}{1 + b} = a$ ，即 $\frac{\frac{a}{1 - a}}{1 - \frac{a}{1 - a}} = a$ 解得 $a = 0$ ，这与 $a ＜ 0$ 矛盾 ∴这样的实数对不存在。故选A 评注: 本题涉及的知识点有集合的符号描述法和区间．集合的符号描述法的一般形式是{x\|p(x))，其中“\|”前是集合的元素所具有的形式，它是解决某些问题的关键．如在进行某些集合的运算时，若不先分析两个集合所具有的形式，就会做负功；“\|”后面是元素所具有的共同属性．而区间则是．一类特殊数集的又一种符号语言，即用方括号、小括号、实数、+∞、-∞等符号表示数轴某一线段(或射线)上所有实数所组成的集合．因此区间与区间之间的关系可用集合子集符号表示，如(1，2] $\overset{\subset}{\neq}$ [O，3]，区间与区间之间以及区间与集合之间可以进行交、并、补的运算，如(0，4]∩(2，5)∪{x\|3≤x＜6)=(2，4]∪{x\|3≤x＜6)=(2，6)．

    3、有下列四个命题：
    (1)“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；
    (2)“面积相等的三角形全等”的否命题；
    (3)“若m≤1，则

x^{2} - 2 x + m = 0

有实数解”的逆否命题
(4)“若A∩B=B，则A

\subseteq

B”的逆否命题。
其中真命题为( )
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(4) D．(1)(2)(3)

提示	示范
$C_{U} .$
解: (1)的逆命题:若x，y互为倒数，则xy=1”是真命题; (2)的否命题:“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题; (3)的逆否命题:“若 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 没有实数解，则m＞1”是真命题; (4)是假命题，所以它的逆否命题也是假命题.如A={1，2，3，4，5}，B={4，5}，显然A $\subseteq$ B是错误的，故选D. 评注:由原命题组成其他三种命题的方法是：先把原命题写成“若……，则……”的形式，然后交换命题的条件与结论便得到了逆命题；同时否定命题的条件与结论便得到了否命题；同时否定命题的条件与结论，并且交换条件与结论便得到了逆否命题．注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面．判断四种命题真假的常用途径有：一是先分别写出四种命题，再分别判断每个命题的真假；二是利用互为逆否命题是等价命题这一关系来判断它的逆否命题的真假，这种方法有时能简化解题过程．

4、设p:

x^{2} - x - 2 ＜ 0

，q:

\frac{1 + x}{| x | - 2} ＜ 0

，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件.

提示	示范
(提示内容)
解:对于p: $x^{2} - x - 2 ＜ 0$ ，解之得-1＜x＜2. 对于q：当x≥0时，即解 $\frac{x + 1}{x - 2} ＜ 0$ ，解之得-1＜x＜2. ∵x≥0 ∴0≤x≤2，当x＜0时，即解 $\frac{x + 1}{- x - 2} ＜ 0$ 转化为 $\frac{x + 1}{x + 2} ＞ 0$ ，解之得 x＞-1或x＜-2， ∵x＜0 ∴-1＜x＜0或x＜-2 综上q：-1＜x＜0或x＜-2 显然p是q的充分不必要条件，故选A. 评注:对于充分条件与必要条件的判断，有如下结论：若p $\Rightarrow$ q，qp，则p是q的充分而不必要条件；若pq，q $\Rightarrow$ p，则p是q的必要而不充分条件；若p $\Rightarrow$ q，q $\Rightarrow$ p，则p是q的充要条件；若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

考能训练

1.已知全集U=R，A={x||x-a|＜2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=

\emptyset

，则a的取值范围是(   )
    A、 [0，2] B、(-2，2) C、(0，2] D、(0，2)
    2. 已知集合M=

{x | x = a^{2} - 3 a + 2 ， a \in R}

，N=

{x | x = b^{2} - b ， b \in R}

，则M，N的关系是( )
A、 M

\overset{\subset}{\neq}

N B、M

\overset{\supset}{\neq}

N C、M=N D、不确定
3. 方程

m x^{2} + 2 x + 1 = 0

至少有一个负根的充要条件是(   )
    A、0＜m≤1或m＜0    B、0＜m≤1    C、m＜1    D、m≤1
    4. 集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3n+1，n∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是(   )
    A、S

\overset{\subset}{\neq}

\overset{\subset}{\neq}

A B、S=B

\overset{\subset}{\neq}

A
C、S

\overset{\subset}{\neq}

B=A D、S

\overset{\supset}{\neq}

B=A
5. 已知p：方程

x^{2} + a x + b = 0

有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的(   )
    A、充分不必要条件    B、必要不充分条件    C、充要条件    D、既不充分又不必要条件
    6、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是_____人。
    7、定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为______.
    8、已知

p : | 1 - \frac{x - 1}{3} | ＜ = 3 ； q : x^{2} - 2 x + 1 - m^{2} ＜ = 0 (m ＞ 0)

若

\neg p

是

\neg q

的必要非充分条件，求实数m的取值范围.
9、记函数

f (x) = \sqrt{2 - \frac{x + 3}{x + 1}}

的定义域为A，

g (x) = lg [(x - a - 1) (2 a - x)] (a ＜ 1)

的定义域
为B.
(1) 求集合A;
(2) 若B

\subseteq

A，求实数a的取值范围．
10、已知p:

f^{- 1} (x)

是

f (x) = 1 - 3 x

的反函数，且

| f^{- 1} (a) | ＜ 2

; q : 集合

A = {x | x^{2} + (a + 2) x + 1 = 0 ， x \in R} ， B = {x | x ＞ 0} 且 A \cap B = \emptyset

.
求实数a的取值范围，使p，q中有且只有一个真命题.

参考答案

1.已知全集U=R，A={x||x-a|＜2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=

\emptyset

，则a的取值范围是( A )
A、 [0，2] B、(-2，2) C、(0，2] D、(0，2)
2. 已知集合M=

{x | x = a^{2} - 3 a + 2 ， a \in R}

，N=

{x | x = b^{2} - b ， b \in R}

，则M，N的关系是( C )
A、 M

\overset{\subset}{\neq}

N B、M

\overset{\supset}{\neq}

N C、M=N D、不确定
3. 方程

m x^{2} + 2 x + 1 = 0

至少有一个负根的充要条件是( D )
    A、0＜m≤1或m＜0    B、0＜m≤1    C、m＜1    D、m≤1
    4. 集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3n+1，n∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是( C )
    A、S

\overset{\subset}{\neq}

\overset{\subset}{\neq}

A B、S=B

\overset{\subset}{\neq}

A
C、S

\overset{\subset}{\neq}

B=A D、S

\overset{\supset}{\neq}

B=A
5. 已知p：方程

x^{2} + a x + b = 0

有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的( A )
    A、充分不必要条件    B、必要不充分条件    C、充要条件    D、既不充分又不必要条件
    6、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是_____人。
    答案:25
    7、定义集合运算：A⊙B=｛z|z=xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为______.
    答案:18
    8、已知

p : | 1 - \frac{x - 1}{3} | ＜ = 2 ； q : x^{2} - 2 x + 1 - m^{2} ＜ = 0 (m ＞ 0)

若

\neg p

是

\neg q

的必要非充分条件，求实数m的取值范围.
解：由

x^{2} - 2 x + 1 - m^{2} \leq 0

，得

1 - m \leq x \leq 1 + m

.
∴

\neg q : A = {x | x ＜ 1 - m 或 x ＞ 1 + m}

由

| 1 - \frac{x - 1}{3} | \leq 2

，得

- 2 \leq x \leq 10

.
∴

\neg p : B = {x | x ＜ - 2 或 x ＞ 10}

\neg p

是

\neg q

的必要非充分条件，且m＞0， A

\subseteq

B.
∴

{\begin{cases} m ＞ 0 ① \\ 1 - m \leq - 2 ② \\ 1 + m \geq 10 ③ \end{cases}

即m≥9，
    注意到当m≥9时，③中等号成立，而②中等号不成立.
    ∴m的取值范围是m≥9
    9、记函数

f (x) = \sqrt{2 - \frac{x + 3}{x + 1}}

的定义域为A，

g (x) = lg [(x - a - 1) (2 a - x)] (a ＜ 1)

的定义域为B.
(1)求集合A;
(2)若B

\subseteq

A，求实数a的取值范围．
解：(1)

2 - \frac{x + 3}{x + 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{2 x + 2 - (x + 3)}{x + 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{x - 1}{x + 1} \geq 0

(x - 1) (x + 1) \geq 0

且

x \neq - 1 \Rightarrow x \geq 1

或x＜-1.
∴集合A={x|x≥1或x＜-1}.
(2)

(x - a - 1) (2 a - x) ＞ 0 (a ＜ 1) \Rightarrow (x - a - 1) (x - 2 a) ＜ 0

∵

a ＜ 1 ，

∴

2 a ＜ a + 1 ，

∴

2 a ＜ x ＜ a + 1 .

∴不等式的解为

2 a ＜ x ＜ a + 1 .

∴集合

Ｂ = {x | 2 a ＜ x ＜ a + 1} .

∵B

\subseteq

A ，
∴

2 a \geq 1

或

a + 1 \leq - 1

，
∴

a \geq \frac{1}{2}

或

a \leq - 2

10、已知p:

f^{- 1} (x)

是

f (x) = 1 - 3 x

的反函数，且

| f^{- 1} (a) | ＜ 2

; q:集合

A = {x | x^{2} + (a + 2) x + 1 = 0 ， x \in R}

，

B = {x | x ＞ 0}

且

A \cap B = \emptyset

.求实数a的取值范围，使p，q中有且只有一个真命题.
解：对p：

f^{- 1} (x) = \frac{1 - x}{3}

，所以

| f^{- 1} (a) | = | \frac{1 - a}{3} | ＜ 2

．
若命题p为真，则有-5＜a＜7；
对q：∵B={x|x＞0}且A∩B=

\emptyset

∴若命题q为真，则方程

g (x) = x^{2} + (a + 2) x + 1 = 0

无解或只有非正根．
∴

△ = {(a + 2)}^{2} - 4 ＜ 0

或

{\begin{cases} Δ \geq 0 \\ g (0) \geq 0 \\ - \frac{a + 2}{2} ＜ 0 \end{cases}

    ∴a＞-4.
    ∵p，q中有且只有一个为真命题
    ∴(1)p真，q假：则有

{\begin{cases} - 5 ＜ a ＜ 7 \\ a \leq - 4 \end{cases}

，即有-5＜a≤-4；
(2)p假，q真：则有

{\begin{cases} a \geq 7 或 a \leq - 5 \\ a > - 4 \end{cases}

，即有a≥7；
∴ -5＜a≤-4或a≥7．

    方法感悟
    1.加强集合中元素特征的理解，特别注意元素的互异性.
    2.考察两个集合关系时不要忘记

\emptyset

3.子集，交集，并集，补集是集合的核心。在解决集合的有关问题时常将集合转化为代数，三角，几何问题。
4.确定条件为不充分或不必要的条件时常构造反例来说明。

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