解:依题意有${\displaystyle \frac{x}{a(x+2)}=x}$，得${\displaystyle a{x}^2+(2a-1)x=0}$。解得${\displaystyle x=0}$或${\displaystyle x=\frac{1-2a}{a}}$。

    因为${\displaystyle y=f\left(x\right)}$有唯一不动点，${\displaystyle \therefore \frac{1-2a}{a}=0}$. ${\displaystyle \therefore a=\frac{1}{2}}$.

    当 ${\displaystyle a=\frac{1}{2}}$时${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2x}{x+2}}$.${\displaystyle \therefore \frac{1}{x_{n+1}}=f\left(\frac{1}{x_n}\right)=\frac{2}{2x_n+1}}$ ${\displaystyle \therefore x_{n+1}=x_n+\frac{1}{2},}$即${\displaystyle x_{n+1}-x_n=\frac{1}{2}}$.
    ${\displaystyle \therefore \left\{x_n\right\}}$为等差数列，其首项为${\displaystyle x_1=1000，}$公差${\displaystyle d=\frac{1}{2}。\therefore x_n=1000+(n-1)\times \frac{1}{2}=\frac{n-1}{2}+1000.}$
    ${\displaystyle \therefore x_{2007}=2003}$
    答案：B

   评注:本题定义了新概念，运用所学知识解决与“新概念”有关的问题，这是近几年高考的“热点”之一；本题可以将问题转化为等差数列的知识来解决。

    解:直接求解，无从下手，由结论的数量特征${\displaystyle \frac{1}{2003}+\frac{2002}{2003}=1,\frac{2}{2003}+\frac{2001}{2003}=1,\dots }$,由此将问题转化为研究${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4^x}{4^x+2}}$的结论特点。

    于是${\displaystyle \because f\left(a\right)+f(1-a)=\frac{4^a}{4^a+2}+\frac{4^{1-a}}{4^{1-a}+2}=\frac{4^a}{4^a+2}+\frac{4}{4+2\times 4^a}=\frac{4^a}{4^a+2}+\frac{2}{4^a+2}=1.}$
    ${\displaystyle \therefore f\left(\frac{1}{2003}\right)+f\left(\frac{2}{2003}\right)+\dots +f\left(\frac{2002}{2003}\right)=[f\left(\frac{1}{2003}\right)+f\left(\frac{2002}{2003}\right)]+[f\left(\frac{2}{2003}\right)+f\left(\frac{2001}{2003}\right)]+\dots +[f\left(\frac{1001}{2003}\right)+f\left(\frac{1002}{2003}\right)]=1+1+\dots +1=1001.}$

   评注: 本题从研究结论的数量特征入手，得一般性结论${\displaystyle f\left(a\right)=f(1-a)=1}$，体现了从特殊到一般的解题思路。

    解:${\displaystyle \because a_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2),\therefore S_n-1-S_n=\frac{2S_n^2}{2S_n-1}}$

    即${\displaystyle S_n-S_{n-1}=2S_n{S}_{n-1}}$
    同除以${\displaystyle S_n\cdot S_n-1，}$得${\displaystyle \frac{1}{S_n}-\frac{1}{S_{n-1}}=2(n\ge 2).}$
    令${\displaystyle b_n=\frac{1}{S_n},}$则${\displaystyle \left\{b_n\right\}}$是以${\displaystyle b_1=\frac{1}{S_1}=1}$为首项，公差为${\displaystyle d=2}$的等差数列。
    ${\displaystyle \therefore b_n=1+(n-1)\cdot 2=2n-1,}$即${\displaystyle \frac{1}{S_n}=2n-1,\therefore S_n=\frac{1}{2n-1}.}$
    又${\displaystyle a_n=S_n-S_n-1=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}=\frac{2}{(2n-1)(3-2n)},}$
    ${\displaystyle \therefore a_n=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ \frac{2}{(2n-1)(3-2n)}& n\ge 2\end{array}}$

   评注:数列的着眼点，一般都是将问题转化为等差或等比数列，然后结合等差、等比数列的性质来解决。

    答案:A
    2、已知方程${\displaystyle {sin}^{2}x+cosx+a=0}$有解，则实数${\displaystyle a}$的取值范围为(   )
    A.(-3,-1)     B.(-1,0)      C.${\displaystyle [-\frac{5}{4},1] D.[-\frac{5}{4},0]}$

    答案:C
    3、[2006浙江高考5]设向量${\displaystyle \overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}、\overrightarrow{c}}$满足${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}}$，且${\displaystyle \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b},\left|\overrightarrow{a}\right|=1,\left|\overrightarrow{b}\right|=2,}$则${\displaystyle {\left|\overrightarrow{c}\right|}^2等于( )}$
    A.1       B.2      C.4       D.5

    答案:D
    4、函数${\displaystyle f\left(x\right)=cos2x-2\sqrt[]{3}sinxcosx}$的最小正周期是__________.

    答案:${\displaystyle \pi }$
    5、已知${\displaystyle 9cosB+3sinA+tanC=0,{sin}^{2}A-4cosBtanC=0}$，则${\displaystyle tanC:cosB}$等于(   )
    A.1:1       B.2:1       C.3:1       D.9:1

    答案:D
    6、[2007北京四中第一次统测]已知函数在${\displaystyle f\left(x\right)={log}_{sin1}(x^2-6x+5)}$在${\displaystyle (a,+\infty )}$上是减函数，则实数${\displaystyle a}$的取值范围为(   )
    A.${\displaystyle (5,+\infty ) B.[5,+\infty ) C.(-\infty ,3) D.(3,+\infty )}$

    答案:B
    7[2007四川成都毕业班摸底测试，10]、已知圆${\displaystyle {(x-a)}^2+y^2=4}$被直线${\displaystyle x-y=2}$所截得的弦长为${\displaystyle 2\sqrt[]{2}}$，则实数${\displaystyle a}$的值为(   )
    A.0或4       B.1或3       C.-2或6       D.${\displaystyle -1或\sqrt[]{3}}$

    答案:A
    8、[2006福建高考，20]已知椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{2}+y^2=1}$的左焦点为${\displaystyle F}$，${\displaystyle O}$为坐标原点。
    (1)求过点${\displaystyle O、F}$，并且与椭圆的左准线${\displaystyle l}$相切的圆的方程；
    (2)设过点${\displaystyle F}$的直线交椭圆于${\displaystyle A、B}$两点，并且线段${\displaystyle AB}$的中点在直线${\displaystyle x+y=0}$上，求直线${\displaystyle AB}$的方程。

    答案:(1)${\displaystyle {(x+\frac{1}{2})}^2+{(y\pm \sqrt[]{2})}^2=\frac{9}{4}}$;(2)直线${\displaystyle AB}$的方程是${\displaystyle y=0}$或${\displaystyle x-2y+1=0}$