专题三分类讨论思想

网络结构

要点归纳

典型案例

应用训练

思想感悟

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    要点归纳
    一、什么是分类讨论的思想
　　分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。中学数学对基本知识(如法则、公式、定理、性质、基本方法等)的应用都是有一定条件的，就是说只能在一定的范围内应用它们，当在一个比它需要的更广的范围内求解问题时，要应用这些基本知识，就需要把这一更广的范围划分为几个较小的范围，再把问题解决掉，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”或者说不同情况要采取不同的方法去对待，这种处理数学问题的思想就是“分类讨论”的思想。
　　二、运用分类讨论思想解题策略
　　1.分类定义：设符合一定条件的全体对象组成集合 $A$ ，按对象的某一性质 $P$ ，将 $A$ 分成若干个真子集 $A_{1}, A_{2}, \dots ， A_{n}$ ，满足：
    (1) $A = \cup_{i = 1}^{n} A_{i}$ ;
　　(2) $A_{i} \cap A_{j} =$ 空集( $i \neq j, i 、 j = 1, 2, \dots, n)$ ,则称 $A_{1}, A_{2}, \dots ， A_{n}$ 是集合 $A$ 的分类。
“按对象的某一性质 $P$ ”就是分类标准，条件 $A = \cup_{i = 1}^{n} A_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 要求集合A中的全体对象一个也不遗漏．条件 $A_{i} \cap A_{j} = 空集 (i \neq j, i 、 j = 1, 2, \dots, n)$ 要求集合 $A$ 中的每一个对象划分后所属的 $A_{i}$ 是唯一确定的.
　　有些问题一次分类仍不够，可对 $A_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 再进行分类；这就构成对 $A$ 的二级分类，依此类推，可以有三级分类，四级分类……
　　2.分类原则：由分类的定义可以知道，分类讨论时必须遵循如下原则：
　　(1)施行分类的集合的全域必须是确定的；
　　(2)每一次分类的标准必须是同一的；
　　(3)分类必须是完整的，不出现遗漏；
　　(4)各子集域必须是互斥的，不出现重复；
　　(5)如需多次分类，必须逐级进行，不得越级。
　　3.分类方法：用分类讨论的思想解答数学问题，一般是按如下过程操作：
　　(1)明确讨论的对象，确定对象的全体；
　　(2)确定分类标准，正确进行分类；
　　(3)逐类进行讨论，获得阶段性的结果；
　　(4)归纳小结，综合出结论。
　　4.有关分类讨论的数学问题:需要运用分类讨论的思想来解决的数学问题,引起分类讨论的原因大致可归结为如下几种:
　　(1)涉及的数学概念是分类定义的;
　　(2)运用的数学定理、公式,或运算性质、法则是分类给出的；
　　(3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
　　(4)数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果。
　　5.分类讨论一般步骤
　　(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
　　(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
　　(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；
　　(4)归纳总结，得初结论。

典型案例
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
　

1[2006天津高考，5]、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A.10种 B.20种 C.36种 D.52种

提示	示范
注意4个小球分2组的分类
解:4个小球分2组有 ① $\frac{C_{4}^{2} C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}} = 3$ 种，② $C_{4}^{1} C_{3}^{3}$ =4种不同的分组方法。在①中这3种分组方法可以随便放， $∵ 3 \times A_{2}^{2} = 6$ 放法。在②中只能有1种放法，故总种数为6+4=10(种)。答案：A 评注:在排列组合问题中，大部分题目要用到分类讨论的思想方法.

2、已知

f (x) = x^{2} - 2 x + 2

,其中

x \in [t, t + 1]

t \in R

，函数

f (x)

的最小值为

t

的函数

g (t)

，试计算当

t \in [- 3, 2]

时

g (t)

的最大值。

提示	示范
先求 $g (t)$ ，再求 $g (t)$ 的最大值
解:由 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 得 $f (x) = {(x - 1)}^{2} + 1$ ，图象的对称轴为直线 $x = 1$ 。当 $t + 1 \leq 1$ 时，区间 $[t, t + 1]$ 在对称轴的左侧，函数 $f (x)$ 在 $x = t + 1$ 处取得最小值 $f (t + 1)$ 。当 $0 < t < 1$ 时， $x = 1$ 在区间 $[t, t + 1]$ 的内部，函数 $f (x) 在 x = 1$ 处取得最小值 $f (1)$ 。当 $t \geq 1$ 时，区间[t,t+1]在对称轴的右侧，函数 $f (x)$ 在 $x = t$ 处取得最小值 $f (t)$ 。综上可得， $g (t) = {\begin{cases} f (t + 1) = t^{2} + 1 & t \leq 0 \\ 1 & 0 < t < 1 \\ f (t) = t^{2} - 2 t + 2 & t \geq 1 \end{cases}$ 又 $t \in [- 3, 2]$ ，当 $t \in [- 3, 0]$ 时，求得 $g (x)$ 的最大值为 $f (- 3) = 10$ ；当 $t \in (0, 1)$ 时，求得 $g (x)$ 的值恒为1。当 $t \in [1, 2]$ 时,求得 $g (t)$ 的最大值为 $f (2) = 2$ . 经比较，可知当 $t \in [- 3, 2]$ 时, $g (x)$ 的最大值为10。评注: 显然，本题应先求 $g (t)$ ，再求 $g (t)$ 的最大值，由于动区间与抛物线 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 的对称轴有三种位置关系，即对称轴在区间 $[t, t + 1]$ 内或两侧，因而应先分这三种不同情形求出 $g (t)$ ，然后再根据 $g (t)$ 解析式的特征，求其当 $t \in [- 3, 2]$ 时的最大值。

3、在等差数列

{a_{n}}

中，前

n

项和

S_{n}

满足条件

\frac{S_{2 n}}{S_{n}} = \frac{4 n + 2}{n} + 1, n = 1, 2 \dots .

(1)求数列

{a_{n}}

的通项公式；

(2)记

b_{n} = a_{n} p^{a_{n}} (p > 0)

，求数列

{b_{n}}

的前

n

项和

T_{n}

提示

示范

    解:(1)设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，由 $\frac{S_{2 n}}{S} n = \frac{4 n + 2}{n + 1}$ ，得 $\frac{a_{1} + a_{2}}{a_{1}}$ ，所以 $a_{2} = 2$ ,即 $d = a_{2} - a_{1} = 1$ 。
    所以 $a_{n} = n$ 。
    (2)由 $b_{n} = a_{n} p^{a_{n}} (p > 0)$ 时，得 $b_{n} = a_{n} p^{a_{n}}$ 。所以 $T_{n} = p + 2 p^{2} + 3 p^{3} + \dots + (n - 1) p^{n - 1} + n p^{n}$ .
    当 $p = 1$ 时， $T n = \frac{n + 1}{2} \times n = \frac{n^{2} + n}{2}$ ，

    当 $p \neq 1$ 时, $p T_{n} = p^{2} + 2 p^{3} + 3 p^{4} + \dots + (n - 1) p^{n} + n p^{n + 1}$ ,
    $(1 - p) T_{n} = p + p^{2} + p^{3} + \dots + p^{n - 1} + p^{n} + n p^{n + 1} = \frac{p (1 - p^{n})}{1 - p} - n p^{n + 1}$ ,
    即 $T_{n} = {\begin{cases} \frac{n^{2} + n}{2} & p = 1 \\ \frac{p (1 - p^{n})}{{(1 - p)}^{2}} - \frac{n p^{n + 1}}{1 - p} & p \neq 1 \end{cases}$

评注:数学中的某些公式、定理、性质在不同条件下有不同的结论，在运用它们时，就要注意分类讨论，分类的依据是公式中的条件，本题使用等比数列前n项和公式必须注意满足其使用条件。

4、在Rt△ABC中，

\vec{A B} = (2, 3)

，

\vec{A C} = (1, k)

，求实数

k

的值。

提示	示范
由△ABC构成直角三角形，但不知哪一个是直角，故分别对 $A 、 B 、 C$ 为直角的情况进行讨论。
解:(1)当 $∠ A = 90^{o}$ 时， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = (1, k) = 0$ ，　　 $∴ 2 \times 1 + 3 k = 0 .$ $∴ k = - \frac{2}{3}$ . 　　(2)当 $∠ B = 90^{o}$ 时， $\vec{B C} = \vec{A C} - \vec{A B} = (- 1, k - 3)$ 。　　 $∵ \vec{A B} \cdot \vec{B C} = 0$ , $∴ 2 \times (- 1) + 3 (k - 3) = 0$ , $∴ k = \frac{11}{3}$ . 　　(3)当 $∠ C = 90^{o}$ 时， $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $∴ - 1 + k (k - 3) = 0$ , $∴ k = \frac{3 \pm \sqrt[]{3}}{2}$ . 　　综合(1)(2)(3)，得 $k = - \frac{2}{3}$ 或 $k = \frac{11}{3}$ 或 $k = \frac{3 \pm \sqrt[]{3}}{2}$ 。评注:本题中合理分类并逐类讨论解答完后，一定要归纳总结。

应用训练

1、设

a

、

b

、

c

为非零实数，则

x = \frac{| a b |}{a b} + \frac{b c}{| b c |} + \frac{| c a |}{c a} + \frac{a b c}{| a b c |}

的所有值组成的集合为( )
　　A.{-4,-2} 　　B.{-2,0}　　 C.{-2,0,2} 　　D.{0,-2,4,2}
　　2、[2006江西高考.3]若

a > 0, b > 0

，则不等式

- b < \frac{1}{x} < a

等价于( )
　　A.

- \frac{1}{b} < x < 0

或

0 < x < \frac{1}{a}

- \frac{1}{a} < x < \frac{1}{b}

x < - \frac{1}{a} 或 x > \frac{1}{b}

x < - \frac{1}{b} 或 x > \frac{1}{a}

　　3、[2006安徽高考,12]在正方体上任选取3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )
　　A.

\frac{1}{7}

\frac{2}{7}

\frac{3}{7}

\frac{4}{7}

　　4、在△ABC中，已知

∠ A = 30^{o}, a = 8, b = 8 \sqrt[]{3}

,则

S_{△} A B C

为…………（）
A.

32 \sqrt[]{3}

B.16 C.

32 \sqrt[]{3}

或16 D.

32 \sqrt[]{3}

或

16 \sqrt[]{3}

　　5、[2006湖南高考,8]设函数

f (x) = \frac{x - a}{x - 1}

，集合

M = {x | f (x) < 0} ， P = {x | f' (x) > 0}

，若

M \subseteq P

，则实数

a

取值范围是( )
　　A.

(- \infty, 1)

　　　　B.(0,1) 　　　　C.

(1, + \infty)

[1, + \infty)

　　6、直线

y = a x - 2 a + 1

，当

x \in [- 1, 1]

时，

y

的值有正也有负，则实数

a

的取值范围为________.

7、在 $x O y$ 平面上给定曲线 $y^{2} = 2 x$ ，设点 $A (a, 0)$ ， $a \in R$ ，求曲线上的点到点 $A$ 距离的最小值 $d$ ,写出 $d = f (a)$ 的函数表达式。
　　8、[2006辽宁高考,22]已知 $f_{0} (x) = x^{n}$ , $f_{k} (x) = \frac{{f'}_{k - 1} (x)}{f_{k - 1} (1)}$ , 其中 $k \leq n (n 、 k \in N^{\cdot})$ ,设 $F (x) = C_{n}^{0} f_{0} (x^{2}) + C_{n}^{1} f_{1} (x^{2}) ... + C_{n}^{k} f_{k} (x^{2}) + ... C_{n}^{n} f_{n} (x^{2})$ , $x \in [- 1, 1]$ .
　　(1)写出 $f_{k} (1)$ ;
　　(2)证明对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [- 1, 1]$ ，恒有 $| F (x_{1}) - F (x_{2}) | \leq 2^{n - 1} (n + 2) - n - 1$ .

参考答案

1、设

a

、

b

、

c

为非零实数，则

x = \frac{| a b |}{a b} + \frac{b c}{| b c |} + \frac{| c a |}{c a} + \frac{a b c}{| a b c |}

的所有值组成的集合为( )
　　A.{-4,-2} 　　B.{-2,0}　　 C.{-2,0,2} 　　D.{0,-2,4,2}

答案:D
　　2、[2006江西高考.3]若 $a > 0, b > 0$ ，则不等式 $- b < \frac{1}{x} < a$ 等价于( )
　　A. $- \frac{1}{b} < x < 0$ 或 $0 < x < \frac{1}{a}$ 　B. $- \frac{1}{a} < x < \frac{1}{b}$ 　 C. $x < - \frac{1}{a} 或 x > \frac{1}{b}$ 　 D. $x < - \frac{1}{b} 或 x > \frac{1}{a}$

答案:D
　　3、[2006安徽高考,12]在正方体上任选取3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )
　　A. $\frac{1}{7}$ 　　　B. $\frac{2}{7}$ 　　　 C. $\frac{3}{7}$ 　　　D. $\frac{4}{7}$

    答案:C
　　4、在△ABC中，已知 $∠ A = 30^{o}, a = 8, b = 8 \sqrt[]{3}$ ,则 $S_{△} A B C$ 为(   )
    A. $32 \sqrt[]{3}$     B.16     C. $32 \sqrt[]{3}$ 或16     D. $32 \sqrt[]{3}$ 或 $16 \sqrt[]{3}$

答案:D
　　5、[2006湖南高考,8]设函数 $f (x) = \frac{x - a}{x - 1}$ ，集合 $M = {x | f (x) < 0} ， P = {x | f' (x) > 0}$ ，若 $M \subseteq P$ ，则实数 $a$ 取值范围是( )
　　A. $(- \infty, 1)$ 　　　　B.(0,1) 　　　　C. $(1, + \infty)$ 　　　　D. $[1, + \infty)$

答案:C
　　6、直线 $y = a x - 2 a + 1$ ，当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $y$ 的值有正也有负，则实数 $a$ 的取值范围为________.

答案: $(\frac{1}{3}, 1)$

7、在 $x O y$ 平面上给定曲线 $y^{2} = 2 x$ ，设点 $A (a, 0)$ ， $a \in R$ ，求曲线上的点到点 $A$ 距离的最小值 $d$ ,写出 $d = f (a)$ 的函数表达式。

答案: $d = f (a) = {\begin{cases} \sqrt[]{2 a - 1} & a \geq 1 \\ | a | & a < 1 \end{cases}$
　　8、[2006辽宁高考,22]已知 $f_{0} (x) = x^{n}$ , $f_{k} (x) = \frac{{f'}_{k - 1} (x)}{f_{k - 1} (1)}$ , 其中 $k \leq n (n 、 k \in N^{\cdot})$ ,设 $F (x) = C_{n}^{0} f_{0} (x^{2}) + C_{n}^{1} f_{1} (x^{2}) ... + C_{n}^{k} f_{k} (x^{2}) + ... C_{n}^{n} f_{n} (x^{2})$ , $x \in [- 1, 1]$ .
　　(1)写出 $f_{k} (1)$ ;
　　(2)证明对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [- 1, 1]$ ，恒有 $| F (x_{1}) - F (x_{2}) | \leq 2^{n - 1} (n + 2) - n - 1$ .

答案:(1) $f_{k} (1) = n - k + 1$ ;(2)略

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