专题一函数与方程思想

网络结构

要点归纳

典型案例

应用训练

思想感悟

网络结构

    要点归纳
    一、什么是函数与方程思想?
    1、函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，即用函数的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决，是对函数概念的本质认识．
    2、方程思想是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决，是对方程概念的本质认识．
    二、运用函数与方程思想解题策略
    1、函数思想
    (1)引入变量，确定函数关系
    在数学各分支中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，利用函数观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种适当的解题途径．
    (2)选定主元，揭示函数关系
    如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在．
    (3)选取变元，构造函数关系
    选取变元，构造函数关系来解决数学问题，这是运用函数思想解题的较高层次，只有平时多加训练并注意积累，才能运用自如．
    (4)解答实际问题，关键在于建立目标函数
    对于实际应用题，首先要读懂文字说明，再将其翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，利用函数的性质、重要不等式或有关知识进行解答．
    (5)将数列看作自变量为n的函数
    等差、等比数列通项公式，前n项和公式都可看成n的函数，因此，某些等差(比)数列问题常可用函数思想来分析或用函数方法来解决．
    2、方程思想
    (1)选定待定系数，建立方程
    待定系数法的实质就是方程思想，它把待定的未知数与已知数等同看待来建立等式，即得到方程(组)．
    (2)利用根与系数的关系或根的判别式构造方程
    如果题设条件中具备或经过变形整理后具备

x_{1} + x_{2} = a ， x_{1} • x_{2} = b

的形式，则可以利用根与系数的关系；具备

b^{2} － 4 a c

≥0或

b^{2} － 4 a c

≤0的形式，可利用根的判别式构造一元二次方程．
    (3)利用变量代换构造方程
    对某些问题，巧妙地进行变量代换，经适当整理后可使问题转化为关于某变数的方程形式，可应用方程思想来解题．
    三、注意事项
    1、函数思想与方程思想是密切相关的
    对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看作二元方程y－f(x)=0；反之，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点．
    2、函数与不等式也可相互转化
对于函数y=f(x)，当y>O时就化为不等式f(x)>0，借助于函数图象与性质可解决相关问题，而研究函数性质，也离不开解不等式．
    3、在许多数学问题中，一般都含有多元参变量，根据题目需要，变换“主元”往往能出奇制胜，但不要脱离题目本身的条件．
    4、函数与方程思想与其他几种思想方法相互融合使用，才能显示出其强大威力．不要脱离其他思想方法单独“钻题”，浪费时间．

　

    典型案例
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、已知数列

{a_{n}}

是等差数列，若

S_{n} = 10 ， S_{2 n} = 50 ， 求 S_{3 n} .

提示	示范
分别求出.
解:由条件知数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列，故 $(n ， \frac{S_{n}}{n}) ， (2 n ， \frac{S_{2 n}}{2 n}) ， (3 n ， \frac{S_{3 n}}{3 n})$ 三点共线，所以 $\frac{\frac{50}{2 n} － \frac{10}{n}}{2 n － n} = \frac{\frac{S_{3 n}}{3 n} － \frac{10}{n}}{3 n － n}$ ．解得 $S_{3 n} = 120$ ．评注:本题的解法比较多，但构造相应的函数再解决问题显然简单快捷．由 ${a_{n}}$ 是等差数列可得 $\frac{S_{n}}{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2}$ ，从而 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 也是等差数列.

2、设n是大于1的自然数，证明

(1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{5}) \dots (1 + \frac{1}{2 n － 1}) > \frac{\sqrt{2 n + 1}}{2}

．

提示	示范
将题中.
解:证明方法较多，而应用函数的单调性来证，过程简捷明了．设 $f (n) = (1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{5}) \dots (1 + \frac{1}{2 n － 1}) \frac{2}{\sqrt{2 n + 1}}$ (n≥2)，则 $\frac{f (n － 1)}{f (n)} = (1 + \frac{1}{2 n － 1}) • \frac{\frac{2}{\sqrt{2 n + 3}}}{\frac{2}{\sqrt{2 n + 1}}} = \sqrt{\frac{4 n^{2} + 8 n + 4}{4 n^{2} + 8 n + 3}} > 1$ ∴f(n)是单调递增函数． ∵ $f (2) = \frac{4}{3} • \frac{2}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{64}{45}} > 1$ ，故f(n)>1，即 $(1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{5}) \dots (1 + \frac{1}{2 n － 1}) > \frac{\sqrt{2 n + 1}}{2}$ 评注: 应用函数的性质证明不等式，关键在于构造一个适当的函数，且能较方便地判断该函数的有关性质．

3、已知函数f(x)=x－sinx，数列

{a_{n}}

满足：0<

a_{1}

<1，

a_{n + 1} = f (a_{n})

，n=1，2，3，…．
求证：(1)

0 < a_{n + 1} < a_{n} < 1

；
(2)

a_{n + 1} < \frac{1}{6} a_{n}^{3}

．

提示	示范
$C_{U} .$
解: $(1) 先用数学归纳法证明 0 <$ a_n $< 1 ， n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ．$ (i)当n=l时，由已知，结论成立． (ii)假设当n=k时结论成立，即0< $a_{k}$ <1．因为当O<x<l时，f'(x)=1－cosx>0，所以f(x)在(0，1)上是增函数．又f(x)在[0，1]上连续，所以f(0)<f( $a_{k}$ )<f(1)，即0< $a_{k + 1}$ <1－sin1<1．故当n=k+1时，结论成立．由(i)(ii)，可知0< $a_{n}$ <l对一切正整数都成立．又因为0< $a_{n}$ <1时， $a_{n + 1} － a_{n} = a_{n} － {sin a}_{n} － a_{n} = － {sin a}_{n} < 0$ ，所以 $a_{n + 1} < a_{n}$ ．综上所述 $0 < a_{n + 1} < a_{n} < 1$ ． (2)设函数 $g (x) = sin x － x + \frac{1}{6} x^{3} ， 0 < x < 1$ ．由(1)，知当0<x<1时，sinx<x．从而 $g' (x) = cos x － 1 + \frac{x^{2}}{2} = － 2 {sin}^{2} \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} > － 2 {(\frac{x}{2})}^{2} + \frac{x^{2}}{2} = 0$ ．所以g(x)在(0，1)上是增函数．又g(x)在[O，1]上连续，且g(0)=0，所以当0<x<1时，g(x)>0成立．于是g(a_n)>0，即 ${sin a}_{n} － a_{n} + \frac{1}{6} a_{n}^{3} > 0$ ．故 $a_{n + 1} < \frac{1}{6} a_{n}^{3}$ ．评注:数列就是一类特殊的函数，利用函数的单调性来研究数列问题，这是历年高考的热点问题．

4、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840

c m^{2}

，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5 cm的空白．怎样确定画面的高与宽的尺寸会使宣传画所用纸张面积最小?

提示	示范
解答实际问题，关键在于建立目标函数，同时确定其定义域.
解:设画面高为x cm，则宽为λx cm，且λ $x^{2}$ =4840，又设纸张面积为y．如图所示，则有 $y = (x + 16) (λ x + 10) = λ x^{2} + 16 λ x + 10 x + 160 = 4840 + 160 + 16 x • \frac{4840}{x^{2}} + 10 x = 5000 + \frac{16 \times 4840}{x} + 10 x$ ．由 $λ = \frac{4840}{x^{2}}$ <1，得函数的定义域为 $(22 \sqrt{10} ， + \infty)$ ． ∵ $\frac{16 \times 4840}{x} + 10 x$ ≥ $2 \sqrt{16 \times 48400}$ ，当且仅当 $\frac{16 \times 4840}{x} = 10 x$ ，即x=88时，取等号，而x=88> $22 \sqrt{10}$ ，高x=88时，y有最小值，此时宽为4840÷88=55(符合宽与高的比λ<1)．答：画面高为88 cm，宽为55 cm时，所用纸张面积最小．评注:运用函数的思想方法，先把所用纸张的面积y表示成画面的高x的函数，写出定义域，再求函数的最小值及相应的宽与高．

应用训练

1.已知向量

\vec{a}

=(4，2)，向量

\vec{b}

=(x，3)，且

\vec{a}

∥

\vec{b}

，则x等于( )
A．9 B．6 C．5 D．3
2.设

f^{- 1} (x)

是函数

f (x) = \frac{1}{2} (a^{x} － a^{- x}) (a > 1)

的反函数，则使

f^{- 1} (x)

>1成立的x的取值范围为( )
A．

(\frac{a^{2} － 1}{2 a} ， + \infty)

B．

(－ \infty ， \frac{a^{2} － 1}{2 a})

C．

(\frac{a^{2} － 1}{2 a} ， a)

D．

[a ， + \infty)

3.已知数列

{a_{n}} 、 {b_{n}}

都是公差为1的等差数列，其首项分别为

a_{1} 、 b_{1}

，且

a_{1} + b_{1} = 5 ， a_{1} 、 b_{1} \in N^{⋆}

，设

c_{n} = a_{b_{n}} (n \in N^{⋆})

，则数列

{c_{n}}

的前lO项和等于( )
A．55 B．70 C.85 D.100
6[2006上海高考.15]、若关于

x

的不等式

(1 + k^{2}) x \leq k^{4} + 4

的解集是

M

，则对任意实数

k

，总有（ A ）
A.

2 \in M, 0 \in M

2 \notin M, 0 \notin M

2 \in M, 0 \notin M

2 \notin M, 0 \in M

7[2007湖南长沙高三考试，15]、已知函数

f (x) = a x^{2} + b x + c

满足

f (1) = 0, a > b > c,

则

\frac{c}{b}

的取值范围是__________

(- 2, - \frac{1}{2})

.

8、已知函数

f (x) = - 4 x^{2} + 4 a x - a^{2} - 4 a (a < 0)

在区间

[0 ， 1]

上有最大值

- 12

，则实数

a

的值为（D）
A.-1 B.-2 C.-3 D.-6
10[2007黄冈中学、黄石中学联考，13]、已知

R

上的减函数

y = f (x)

的图象过

P (- 2, 3), Q (3, - 3)

两个点，那么

f (x + 2) | \leq 3

的解集为_____[-4,1].
13.设集合

A = {x | 4^{x} - 2^{x + 2} + a = 0, x \in R}

.
(1)若

A

中仅有一个元素，求实数

a

的取值集合

B

；
(2)若对于任意

a \in B

，不等式

x^{2} - 6 x < a (x - 2)

恒成立，求

x

的取值范围。
答案：(1)

B = {a | a \leq 0 或 a = 0}

(2)

5 - \sqrt[]{17} < x \leq 2

应用训练(2)

本课件完全公益，使用过程中有任何问题，或想参与新课件制作，请加开心教练QQ：29443574。