一、高考大纲  
    考试内容：
    复数的概念。
    复数的加法和减法。
    复数的乘法和除法。
    数系的扩充。
    考试要求：
    (1)了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义。
    (2)掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算。
    (3)了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想。
    二、高考要览

    三、命题趋势

　　从历年高考试题看，复数部分的考查重点是复数的复数的有关概念，复数的代数形式运算。

　1、题型和题量：本章考查的题型以选择题或填空题为主，一般试卷中出一个小题，分值在5分左右。

　2、知识点考查：复数的有关概念是复数的运算、复数应用的基础，高考中重点考查的概念有虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数的模。在解答涉及这些概念的复数运算、推理题时，对这些概念的理解、掌握，既是审清题的关键，也是获得解题思路的源泉。

　3、难度与创新：复数在高考题中一般没有难题，对复数代数形式运算的考查中，常出现可利用的复数${\displaystyle i，1\pm i，-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt[]{3}}{2}i}$的乘方运算的结果，如用${\displaystyle {(1\pm i)}^2=\pm i,i^{4m+k}=i^k}$,${\displaystyle {(-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt[]{3}}{2}i)}^3=1}$来简化计算过程的题目．

    四、复习建议
　　根据本章知识及高考对本章的考查情况，复习时应该注意以下几个方面：
    1、坚持全面复习与重点复习相结合
    本章的知识点有：（1）数的概念的发展；（2）复数的有关概念；（3）复数的向量表示；（4）复数的加法与减法；（5）复数的乘法与除法。
    由于目前试题多以中低档题目出现，难度不大，但涉及面广，对基本的熟练度程度要求较高，所以对基本问题不能放松要求。举例如下：
    (1)复数的基本概念。如复数为虚数、纯虚数的条件、复数相等条件的运用等。
    (2)下述结果的变形运用
    ①${\displaystyle i^{4n}=1,i^{4n+1}=i,i^{4n+2}=-1,i^{4n+3}=-i(n\in N)}$
    ②${\displaystyle {(1\pm i)}^2=\pm 2i,\frac{1-i}{1+i}=-i,\frac{1+i}{1-i})=i}$
    ③设${\displaystyle \omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt[]{3}}{2}i,则{\omega }^3=1,{\omega }^2=\overline{\omega },1+\omega +{\omega }^2=0}$
    2、重视复数与相关知识的联系
    (1)复数问题转化为实数范围内的代数问题；
    (2)复数问题转化为平面几何问题；在复习过程中，要充分利用相关知识，实现问题的转化。
    3、强调数学思想方法的训练
    (1)转化思想：在全面理解掌握复数知识的同时，善于将复数向实数转化，将复数向几何转化
    (2)分类讨论的思想：分类讨论是一种重要的解题策略和方法，它能使复杂的问题简单化，复数考题中经常用到这种分类讨论思想。

    五、思想与方法综览
    1、等价转化思想
    [案例]设关于${\displaystyle x}$的方程${\displaystyle x^2-(tan\theta +i)x-(2+i)=0}$
    (1)若方程有实数根，求锐角${\displaystyle \theta }$和实数根；
    (2)证明：对任意${\displaystyle \theta \ne k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z)}$，方程无纯数虚数根。
    分析：复数问题通常转化为实数问题来解决。
    解答：⑴设实数的根是${\displaystyle \alpha }$，
    则${\displaystyle {\alpha }^2-(tan\theta +i)\alpha -(2+i)=0}$
    即${\displaystyle {\alpha }^2-\alpha tan\theta -2-(\alpha +1)=0.}$
    ${\displaystyle \because \alpha 、tan\theta \in R,\therefore \{\begin{array}{l}{\alpha }^2-\alpha tan\theta -2=0\\ \alpha +1=0\end{array}}$
   
    (2)若方程存在纯虚数根，设为${\displaystyle bi(b\in R)}$
    则${\displaystyle {\left(bi\right)}^2-(tan\theta +i)\left(bi\right)-(2+i)=0}$
    即${\displaystyle \{\begin{array}{l}-b^2+b-2=0\\ btan\theta +1=0\end{array}}$此方程组无纯虚数解，
    对任意${\displaystyle \theta \ne k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z)}$,方程无纯虚数根。
    点评：这种解法是解此类方程的基本解法，利用复数想等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想。

    2、整体思想

    [案例]设${\displaystyle z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt[]{3}}{2}i}$,那么${\displaystyle z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6}$的值为_______________.
    解答：解法一：由${\displaystyle z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt[]{3}}{2}i}$,得
    ${\displaystyle {(z-\frac{1}{2})}^2=-\frac{3}{4},即z^2-z+1=0}$ ①
    而${\displaystyle z\ne -1}$,${\displaystyle \therefore (z+1)(z^2-z+1)=0,\therefore z^3+1=0}$ ②
    ${\displaystyle ：.}$原式${\displaystyle =z+z^2+z^3+z\cdot z^3+z^2\cdot z^3+z^3\cdot z^3=z+z^2-1-z-z^2+1=0}$
    解法二：设${\displaystyle \omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt[]{3}}{2}i}$，则${\displaystyle z=-\overline{\omega }}$,利用复数${\displaystyle \omega }$的性质可得原式=0
    解法三：根据等比数列求和公式，原式${\displaystyle =\frac{z(1-z^6)}{1-z}}$。由${\displaystyle z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt[]{3}}{2}i}$，可得${\displaystyle z^3=-1}$，从而${\displaystyle z^6=1}$，所以原式=0。

    3、数形结合思想
    [案例]已知${\displaystyle \left|z\right|=1}$，且${\displaystyle z^5+z=1}$，求${\displaystyle z}$。
    分析：由${\displaystyle z^5+z=1}$联想复数加法的几何性质，不难发现${\displaystyle z，z^5,1}$所对应的三点${\displaystyle A、C、B}$及原点${\displaystyle o}$构成平行四边形的四个顶点（如图）
    解答：由分析知△${\displaystyle AOB}$为等边三角形，易求得${\displaystyle z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt[]{3}}{2}i}$
    当点${\displaystyle z}$对应的点Ａ在实轴下方时，${\displaystyle z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}i}$
    点评：巧妙地运用几何意义解题，简便有效。
　

    4、分类讨论思想
    [案例]设${\displaystyle a\ge 0}$，求满足${\displaystyle z^2+2\left|z\right|=a}$的复数${\displaystyle z}$
    分析：一般思路是设${\displaystyle z=x+yi(x，y\in R)}$，或由${\displaystyle z^2+2\left|z\right|=a}$转化为${\displaystyle z^2=a-2\left|z\right|}$，则${\displaystyle z^2\in R}$，从而${\displaystyle z}$是实数或纯虚数。
    解答：${\displaystyle z^2+2\left|z\right|\in R}$，
    ∴${\displaystyle z}$为实数或纯虚数。

    若${\displaystyle z\in R}$，则原方程即为${\displaystyle z^2+2\left|z\right|-a=0}$
    ∴${\displaystyle z=\pm (-1+\sqrt[]{1+a}(a\ge 0)}$。
    若${\displaystyle z}$为纯虚数，设${\displaystyle z=yi(y\in R且y\ne 0)}$。
    则原方程为${\displaystyle {\left|y\right|}^2-2\left|y\right|+a=0}$
    当${\displaystyle a=0}$时，${\displaystyle \left|z\right|=2}$，即${\displaystyle z=\pm 2i}$；
    当时，${\displaystyle \left|y\right|=1\pm \sqrt[]{1+a}}$。
    ∴${\displaystyle z=-(1\pm \sqrt[]{1+a})i}$，或${\displaystyle z=(1\pm \sqrt[]{1+a})i}$
    当${\displaystyle a>1}$时，方程无实根，即此时原方程无纯虚数。
    综上所述${\displaystyle z=\pm 2i}$，或${\displaystyle z=-(1\pm \sqrt[]{1+a})i}$或${\displaystyle z=(1\pm \sqrt[]{1+a})i}$或${\displaystyle z=\pm (-1+\sqrt[]{1+a})i}$。

    二、知识梳理
    (一)、复数的概念
    1、虚数单位i的引入．
    (1)规定：①${\displaystyle i^2=－1}$；②实数与i进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
    (2)i的整数幂具有周期性：
    ${\displaystyle i^{4n}=1，i^{4n+1}=i，i^{4n+2}=－1，i^{4n+3}=－i，其中n\in N}$．
    2、复数z=a+bi(a，b∈R)的分类．
    ${\displaystyle 复数(z=a+bi)\{\begin{array}{l}实数(b=0)\\ 虚数(b\ne 0)\{\begin{array}{l}纯虚数(a=0且b\ne 0)\\ 非纯虚数(a\ne 0且b\ne 0)\end{array}\end{array}}$
    3、数系的扩充．
    (1)数集的扩充过程是：自然数集(N)→整数集(x)→有理数集(Q)→实数集(R)→复数集(C)．
    (2)实系数一元二次方程${\displaystyle a{x}^2+bx+c=0}$的解的情况：记${\displaystyle △=b^2－4ac}$，
    ①当△≥0时，方程有两实根．
    ②当△<0时，方程在复数集C中有两个根${\displaystyle x=\frac{－b\pm \sqrt{－(b^2－4ac)}i}{2a}}$．
    (二)、复数的表示法
    1、代数形式：z=a+bi(a、b∈R)，其中a、b分别称为复数x的实部与虚部．
    2、复平面、实轴、虚轴．
    复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，并且复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数，虚轴上除原点外的点都表示纯虚数．
    (三)、复数的相关概念
    1、两复数相等：实部与虚部分别相等的两复数．
    2、共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不为零的两共轭复数也叫做共轭虚数．
    3、不全为实数的两复数不能比较大小．
    4、复数z=a+bi(a、b∈R)，对应的点为Z(a，b)，O(0，0)为复平面内的原点，则${\displaystyle \left|\overrightarrow{OZ}\right|}$为复数z的模．
    (四)、复数的运算
    1、复数的加法与减法．
    (1)运算法则：
    设${\displaystyle z_1=a+bi，z_2=c+di(a、b、c、d\in R)}$，则
    ${\displaystyle z_l\pm z_2=(a+bi)\pm (c+di)===(a\pm c)+(b\pm d)i}$．
    (2)运算律：设${\displaystyle z_1、z_2、z_3\in C}$，则有
    ①${\displaystyle z_1+z_2=z_2+z_l}$； ②${\displaystyle (z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)}$．
    2、复数的乘法与除法．
    (1)运算法则，设${\displaystyle z_1=a+bi，z_2=c+di(a、b、c、d\in R)}$，则
    ${\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i}$；
    ${\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc－ad}{c^2+d^2}}$
    (2)运算律：设${\displaystyle z_1、z_2、z_3\in C}$，则有
    ①${\displaystyle z_1•z_2=z_2•z_l}$； ②${\displaystyle (z_1•z_{\square })•z_3=z_1•(z_2•z_3)}$； ③${\displaystyle z_1(z_2+z_3)=z_1{z}_2+z_1{z}_3}$．
    3、几个常见的结论．
    (1)${\displaystyle {(1\pm i)}^2=\pm 2i}$；(2)${\displaystyle \frac{l+i}{1－i}=i，\frac{l－i}{1＋i}=－i}$；(3)${\displaystyle \frac{1}{i}=－i}$；
    (4)记${\displaystyle {\omega }_1=－\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i，{\omega }_2=－\frac{1}{2}－\frac{\sqrt{3}}{2}i}$
    ①${\displaystyle {\omega }_1^3={\omega }_2^3=1}$；
    ②${\displaystyle {\omega }_1^2={\omega }_2，{\omega }_2^2={\omega }_1}$；
    ③${\displaystyle {\omega }_1^2+{\omega }_1+1={\omega }_2^2+{\omega }_2+1=0}$．


　

    2、第一轮基础训练 (1)

    3、第一轮单元训练 (1)