三、命题趋势
    从上表可以看出近几年本章考查呈现以下特点：
    1、题型和题量：一般为一个小题和一个大题，小题主要考查导数的概念、四则运算及简单的应用，大题主要考查单调性、极值、最值问题及应用问题．
    2、知识点考查：考查的重点为用导数求函数的单调区间、极值、最值或已知函数的单调区间、极值、最值求参数的取值范围或参数的值．
    3、难度与创新：导数是近几年的教材中增加的内容，高考对这部分内容越考越难，出题的形式多种多样，大题逐步由中档题向综合题过渡．

    四、复习建议
    根据本章知识的重要性以及高考对本章内容的考查情况，复习时应注意以下几点：
    1、导数是中学内容中较为重要的知识．由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题．本章中导数的概念、求导运算、函数的单调性、极值和最值是重点知识 ．因此，要掌握其概念，会求函数的导数，会用求导的方法判断或论证函数的单调性，会求函数的极值和最值，会用导数解决一些实际问题．
    2、要从实际背景出发了解导数的定义，及简单函数导函数的求法(用定义)并注意函数值的改变量要与自变量的改变量对应．
    3、通过适量运算，掌握简单函数导数的求法，并熟记常见函数的导数公式及求导法则．
    4、导数在研究函数的单调性、求函数最值两方面的应用是本章重点，尤其在解应用题时的作用更应引起重视．

    五、思想与方法综览

    1、函数与方程思想
    函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概 念、图象、性质、求导等对问题加以研究，使问题获得解决．函数与方程二者密切不可分，如函数的解析式`y=f(x)` 也可看成方程．函数与方程思想体现了动与静、 变量与常量的辩证统一，是重要的数学方法之一．
    例1（2006年北京）已知函数`f(x)=ax^3+bx^2+cx`在点`x_0`处取得极大值5，其导函数`y=f′(x)`的图象经过点(1,0),(2,0)，如图所示 ．求：
    (1)`x_0`的值；
    (2)`a，b，c`的值．
    解答：解法一：（1）由图象可知，在`（-00，1）上，f′(x)>0`
    故`f(x)`在`(-oo,1),(2,+oo)`上递增，在`(1,2)`上递减．因此`f(x)`在`x=1`处取得极大值，所以`x_0=1`
    (2)`f′(x)=3ax^2+2bx+c，由f′(1)=0. f′(2)=0,f(1)=5,得{(3a+2b+c=0),(12a+4b+c=0),(a+b+c=5):}`
    解得`a=2,b=-9,c=12`
    解法二：(1)同解法一
    (2)设`f′(x)=m(x-1)(x-2)=mx^2-3mx+2m`，又` f′(x)=3ax^2+2bx+c`
    所以`a=m/3,b=-3m/2,c=2m,f(x)=(m/3)x^3-3/2mx^2+2mx`
    `由f(1)=5,即m/3-3/2m+2m=5,得m=6,所以a=2,b=-9,c=12`．
    2、化归与转化思想
    化归与转化是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，化归为一类已经解决的或比较容易解决的问题，从而求得原问题的解．化归与转化思想在数学中非常广泛，如未知向已知的转化， 新知识向旧知识的转化，复杂问题向简单问题的转化，实际问题向数学问题的转化等．
    例2 已知一列椭圆`C_n：x^2+y^2/b_n^2=1,0<b_n<1,n=1,2,…`，若椭圆`C_n`上有一点`P_n`，使`P_n`到右准线`l_n`的距离`d_n`是`|P_nF_n|与|P_nG_n|`的等差中项，其中`F_n、G_n`，分别是`C_n`的左右 焦点．
    (1)试证：`b_n<=sqrt(3)/2(n>=1)`；
    (2)取`b_n=sqrt(2n+3)/(n+2)`，并用`S_n`表示`DeltaP_nF_nG_n`的面积，试证：`S_1<S_2且S_n>S_
(n+1)(n>=3)`
    解答：(1)由题设及椭圆的几何性质有`2d_n=|P_nF_n|+|P_nG_n|=2，故d_n=1`
    设`c_n=sqrt(1-b_n^2)，则右准线方程为l_n：x=1/c_n`
    因此，由题意`d_n=1`应满足`1/c_n-1<=d_n<=1/c_n+1`，
    即`{(1/c_n-1<=1),(0<c_n<1):}`解得`1/2<=c_n<1`，即`1/2<=sqrt(1-b_n^2)<1`
    从而对任意`n>=1,b_n<=sqrt(3)/2`
    (2)设点`P_n`的坐标为`(x_n,y_n)`，则由`d_n=1`及椭圆方程易知`x_n=1/c_n-1`

    `y_n^2=b_n^2(1-x_n^2)=(1-c_n^2)[1-(1/c_n-1)^2]=1/c_n^2(-2c_n^3+c_n^2+2c_n-1)`．
    因为`|F_nG_n|=2c_n`，故`DeltaP_nF_nG_n`的面积为`S_n=c_n|y_n|`,从而`S_n^2=-2c_n^3+c_n^2+2c_n-1(1/2<=c_n<1)`
    令`f(c)=-2c^3+c^2+2c-1`，由`f′(c)=-6c^2+2c+2=0`，得两根`(1+-sqrt(13))/6`，
    从而易知`f(c)`在`[1/2,(1+sqrt(13))/6)`内是增函数，而在`((1+sqrt(13))/6,1)`内是减函数．
    现在由题设取`b_n=sqrt(2n+3)/(n+2)`，则`c_n=sqrt(1-b_n^2)=(n+1)/(n+2)=1-1/(n+2),c_n`是增数列 ．
    又易知`c_2=3/4<(1+sqrt(13))/6<4/5=c_3`，故由前已证知`S_1<S_2`，且`S_n>S_n+1(n>=3)`
    3、分类讨论思想
    分类讨论是重要的数学思想方法之一，它把受多种条件交叉制约、形成错综复杂的问题划分成若干个局部问题，在每一局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整 个问题也就解决了，分类讨论问题涉及面广、综合性强，在高考题中，从未间断对这一思想的考查．
    例3 已知函数`f(x)=-x^2+8x,g(x)=6lnx+m`
    (1)求`f(x)`在区间`[t,t+1]`上的最大值`h(t)`；
    (2)是否存在实数m，使得`y=f(x)`的图象与`y=g(x)`的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值 范围；若不存在，说明理由．
    解答：（1）`f(x)=-x^2+8x=-(x-4)^2+16`
    当`t+1<4, 即t<3时，f(x)在[t,t+1]`上单调递增．`h(t)=f(t+1)=-(t+1)^2+8(t+1)=-t^2+6t+7`
    当`t<=4<=t+1时，即3<=t<=4时,h(t)=f(4)=16`
    当`t>4时，f(x)在[t,t+1]上单调递减，h(t)=f(t)=-t^2+8t`
    综上，`h(t)={(-t^2+6t+7,(t<3)),(16，(3<=t<=4)),(-t^2+8t,t>4):}
    (2)函数`y=f(x)的图象与y=g(x)`的图象有且只有三个不同的交点，即函数`varphi(x)=g(x)-f(x)`的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点，所以`varphi(x)=x^2-8x+6lnx+m, varphi′(x)=2x-8+6/x=(2x^2-8x+6)/x=(2(x-1)(x-3))/x(x>0)`
    当`x in (0,1)时，varphi′(x)>0, varphi(x)`是增函数；
    当`x in (1,3)时，varphi′(x)<0, varphi(x)`是减函数；
    当`x in (3,+00)时，varphi′(x)>0，varphi(x)`是增函数；
    当`x=1或x=3时，varphi′(x)=0`
    所以` varphi(x)的极大值= varphi(1)=m-7, varphi(x)的极小值= varphi(3)=m+8ln3-15`
    因为当x充分接近0时，` varphi(x)<0，当x充分大时，varphi(x)>0`所以要使`arphi(x)`的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须`{( varphi(x)的极大值=m-7>0),(varphi(x)的极小值=m+6ln3-15<0):}，即7<m<15-6ln3`所以存在实数`x`,使得函数`y=f(x)与y=g(x)`的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为`(7,15-6ln3)`
    4、构造思想
    “构造”是一种重要而灵活的思维方法．应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向．即为什么目 的而构造，二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．
    例4 已知`a、b`为实数，且`b>a>e`,其中`e`为自然对数的底，求证`a^b>b^a`
    分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．
    解答：`.:b>a>e,:.要证a^b>b^a，只要证blna>alnb`
    `.:b>a>e,:.lna>1且a/b<1,:.f′(b)>0`
    `:.`函数`f(b)=b•lna-alnb`在`(e,+00)`上是增函数．
    `:.f(b)>f(a)即blna-alnb>alna-alna=0即blna-alnb>0,:.blna>alnb,a^b>b^a`．
　

   二、知识梳理

    (一)知识要点
    1、导数的定义及其几何意义．
    (1)设函数y=f(x)在`x=x_0`处附近有定义，则函数y=f(x)在`x=x_0`处的导数为
    `y'|_(x=x_0)=f'(x_0)=lim_(Delta x→0)(Delta y)/(Delta x)=lim_(Delta x→0)(f(x_0+Delta x)－f(x_0))/(Delta x)`．
    (2)函数y=f(x)在`x=x_0`处导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点`(x_0，f(x_0))`处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点`(x_0，f(x_0))`处的切线斜率`k_切=f'(x_0)`．
    (3)如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点处均有导数，则称函数`y'=f'(x)`为y=f(x)在(a，b)内导函数，简称导数，即有`y'=f'(x)=lim_(Delta x→0)(Delta y)/(Delta x)=lim_(Delta x→0)(f(x+Delta x)－f(x))/(Delta x)`，其中x∈(a，b)．
    (4)求函数y=f(x)导数的步骤．
    ①求函数的增量`Delta y=f(x+Delta x)－f(x)`；
    ②求平均变化率`(Delta y)/(Delta x)=(f(x+Delta x)－f(x))/(Delta x)`；
    ③求极限`lim_(Delta x→0)(Delta y)/(Delta x)`，得导数`f'(x)`．
    2、求导数的方法．
    (1)常用的导数公式．
    `(C)'=O (C为常数)； (x^m)'=mx^(m-1)(m∈Q)`；
    `(sinx)'=cosx； (cosx)'=－sinx`：
    `(e^x)'=e^x； (a^x)'=a^xtext(ln)a`：
    `(lnx)'=1/x；(log_ax)'=1/xlog_ae`
    (2)两个函数四则运算的导数．
    `(u±v)'=u'±b'； (uv)'=u'v+uv'； (u/v)=(u'v-uv')/(v^2) (v≠0)`．
    (3)复合函数的导数：`y_x'=y_u'•u_x'`．
    3、导数的应用．
    (1)判断函数的单调性．设函数y=f(x)在区间(a，b)内有导数，如果`f'(x)>0`，则y=f(x)在(a，b)内是增函数；如果`f'(x)<0`，则y=f(x)在(a，b)内是减函数．
    (2)求函数极值．
    ①设函数f(x)在点`x_0`附近有定义，如果对`x_0`附近所有的点，都有`f(x)<f(x_0)`(或`f(x)>f(x_0)`)，则说`f(x_0)`是函数f(x)的一个极大值(或极小值)．
    ②设函数y=f(x)在某区间内可导，则求函数y=f(x)的极值的方法为：
    (i)求导数`f'(x)`；
    (ii)求方程`f'(x)=0`的根；
    (iii)检查`f'(x)`在方程`f'(x)=0`的根左右的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值．
    (3)求函数最大值或最小值．
    设函数y=f(x)在[a，b]上有定义，在(a，b)内可导，则求函数y=f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤是：
    ①求y=f(x)在(a，b)内的极值；
    ②将y=f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
    (二)考试要求
    1、了解导数概念的某些背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线斜率等)，掌握函数在某点处的导数的定义，掌握导数的几何意义，理解导函数的概念．能熟练地应用函数在某点处的导数定义求简单函数在某点处的导数，会用导数的几何意义求曲线的切线方程．
    2、熟记基本导数公式，掌握两个函数的四则运算求导法则，理解复合函数的求导法则，能够比较灵活地应用求导法则和基本导数公式求简单函数的导数．
    3、了解可导函数的单调性与其导数的关系，会用导数方法判断函数的单调性，会求函数的单调区间．了解可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件，会用导数的方法求函数的极值和最值，并能灵活地应用于解决最值的实际问题．
    4、本章渗透了运动变化的极限思想，运用了函数与方程、数形结合、等价转化、变量代换、函数建模等数学思想方法，体现了本章的复习重点和高考热点．
    (三)考点说明
    1、函数在某点处导数的实质是一个极限问题，函数值相对于某点处自变量的变化率，是某点处平均变化率的极限．
    2、运用复合函数的求导法则`y_x'=y_u'•u_x'`，要把中间变量换成自变量的函数，“层层代换”，求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量，同时要分清每一步求导是哪一个变量对哪一个变量的求导．如函数`y=(x+sqrt(x^2+1))^2`，若设`u=x+sqrt(x^2+1)`、`v=sqrt(x^2+1)`，`omega=x^2+1`，`t=x^2`，则有复合关系为`y=u^2`，`u=x+v`，`v=sqrt(omega)`，`omega=t+1`，`t=x^2`，这样求导数就复杂多了．若设`u=x+sqrt(x^2+1)`，`v=x^2+1`，则复合关系为`y=u^2`，`u=x+sqrt(v)`，`v=x^2+1`，显然求导计算就简单多了．
    3、极值是局部性概念，最值是全局性概念，因而极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值．但如果连续函数在开区间内只一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．

    §14.2 导数的综合运用 (1)

    2、第一轮基础训练 (1)

    3、第一轮单元训练 (1) (2)