§9.6 空间距离

第九章直线、平面、简单几何体(B)
§9.6 空间距离

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
掌握空间两点间距离的公式，掌握点和面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念(对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离或会计算在坐标表示下的距离)，会解决—些简单的距离问题．

二、重点难点
(这里输入)

三、特别提示
(1)从空间中各种距离的定义看，它们基本上都是转化为两点间的距离来计算．因此，会求空间中两点的距离是基础，求点到直线和点到平面的距离是重点，求异面直线的距离是难点．求解距离问题要注意运用化归与转化思路：面面距离 $\to$ 线面距离 $\to$ 点面距离 $\to$ 点点距离．

(2)点与点的距离，点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”．

(3)给出公垂线的两条异面直线的距离，先进行论证(先定性)，然后再计算(后定量)．

(4)点到平面的距离是有关距离问题的重点，它主要由三种方法求得：

①用定义，直接能作出这段距离，经论证再计算；

②用二面角的平面角性质：平面角的一边上任意一点到另一边的距离都垂直于第二边所在的平面．先作“点”所在平面与“平面”组成的二面角的平面角，过“点”作平面角另一边的垂线，垂线长即为此“点”到“平面”的距离；

③转化为锥体的高，用三棱锥体积公式求点到平面的距离．这三种方法中第二种推理和计算量都较大．

(5)异面直线间距离(除“3”指出的外)、直线与其平行的平面间的距离和两平行平面间的距离都转化为求点到平面间距离计算．

知识梳理

1、一点到它在一个平面内的射影的距离叫做这一点到这个平面的距离．

2、一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离．

3、和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段，公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．

4、和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两条异面直线的公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的距离，公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离．

5、任意两条异面直线有且只有一条公垂线，公垂线段是连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条．

6、距离公式

已知两条异面直线所成的角为 $θ$ ，如图，在直线 $a 、 b$ 上分别取 $E 、 F$ ，已知 $A' E = m$ ， $A F = N$ ， $E F = l$ ，则公垂线段 $A A'$ 的长度为 $d = \sqrt{l^{2} - m^{2} - n^{2} - + 2 m n cos θ}$
　

    应用举例
    一、应用特点
    1、点到直线、点到平面的距离的求法
    2、直线与平面的距离和平面与平面的距离
    3、距离间的相互转化

二、案例示范
回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范

1、如图， $A B C D$ 是菱形， $P A ⊥ 平面 A B C D$ ， $P A = A D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$

(1)求证：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A C$

(2)求点 $A$ 到平面 $P B D$ 的距离

(3)求二面角 $D - P B - C$ 的大小

提示

示范

解:(1)证明： $∵ A B C D$ 是菱形

$∴ B D ⊥ A C$

$∵ P A ⊥$ 平面 $A B C D$

$∴ B D ⊥ P A$

$∴ B D ⊥$ 平面 $P A C$

又 $∵ B D \subset$ 平面 $P B D$

$∴$ 平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A C$

(2)连结 $P O$ ，过 $A$ 作 $A E ⊥ P O$ ，平面 $P A C \cap$ 平面 $P B D = P O$

$∴ A E ⊥$ 平面 $P B D$ ， $A E$ 就是所求的距离，计算得 $A E = \frac{2 \sqrt{21}}{7}$

(3)过 $C$ 作 $C M ⊥ P O$ 于 $M$ ，则 $C M ⊥$ 平面 $P B D$

过 $M$ 作 $M N ⊥ P B$ 于 $N$ ，连结 $C N$ ，由三垂线定理知， $C N ⊥ P B$

$∴ ∠ C N M$ 为二面角 $C - P B - D$ 的平面角

由(2)知 $C M = A E = \frac{2 \sqrt{21}}{7}$

易知 $P B = 2 \sqrt{2} ， A C = 2 \sqrt{3} ， P C = 4$

利用面积关系， $\frac{1}{2} P B \cdot C N = \frac{1}{2} P C \cdot B C sin ∠ P C B$

在 $△ P C B$ 中，由余弦定理得 $cos ∠ P C B = \frac{3}{4}$

$∴ sin ∠ P C B = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$∴ C N = \frac{\sqrt{14}}{2}$

$∴ sin ∠ C N M = \frac{C M}{C N}$

$= \frac{\frac{2 \sqrt{21}}{7}}{\frac{\sqrt{14}}{2}} = \frac{2 \sqrt{6}}{7}$

$∴$ 二面角 $D - P B - C$ 的大小为 $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$

评注:求距离的基本题常作为低档题出现在选择、填空题中，在解决此类问题时，常作辅助线，使距离转为三角形的高，通过三角形的知识即可解得内容．

2、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $C C_{1} = 2$

    (1)求证：平面 $A_{1} B C_{1} //$ 平面 $A C D$
    (2)求(1)中两个平行平面间的距离
    (3)求点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离

提示

示范

解:(1)证明：由于 $B C_{1} // A D_{1}$ ，则 $B C_{1} //$ 平面 $A C D_{1}$

同理， $A_{1} B //$ 平面 $A C D_{1}$

$∴$ 平面 $A_{1} B C_{1} //$ 平面 $A C D_{1}$

(2)设两个平行平面 $A_{1} B C_{1}$ 与 $A C D_{1}$ 间的距离为 $d$ ，则 $d$ 等于 $D_{1}$ 到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离

易求 $A_{1} C_{1} = 5$ ， $A_{1} B = 2 \sqrt{5}$ ， $B C_{1} = \sqrt{13}$

则 $cos ∠ A_{1} B C_{1} = \frac{2}{\sqrt{65}}$ ， $sin ∠ A_{1} B C_{1} = \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{65}}$ ， $S_{△ A_{1} B C_{1}} = \sqrt{61}$

由于 $V_{D_{1} - A_{1} B C_{1}} = V_{B - A_{1} C_{1} D_{1}}$

则 $\frac{1}{3} \cdot S_{△ A_{1} B C_{1}} \cdot d = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot A_{1} D_{1} \cdot C_{1} D_{1}) \cdot B B_{1}$

代入求得 $d = \frac{12 \sqrt{61}}{61}$ ，即(1)中两个平行平面间的距离等于 $\frac{12 \sqrt{61}}{61}$

(3)由于线段 $B_{1} D_{1}$ 被平面 $A_{1} B C_{1}$ 所平分

则 $B_{1} 、 D_{1}$ 到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离相等

则由(2)知点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离等于 $\frac{12 \sqrt{61}}{61}$

评注:“体积法”是计算“点面距”“线面距”和“线线距”的一个极其有效的方法．

3、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的两底面是等腰直角三角形，且 $∠ A B C = 90 °$ ，在 $A_{1} C_{1}$ 上取一点 $P$ ，使 $A_{1} P = m$ ， $P C_{1} =$ $n$ ，使二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $α$ ，求 $C$ 点到平面 $P A B$ 的距离

提示

示范

根据三棱锥

C - P A B

与三棱锥

P - A B C

体积相等来解决问题．

解:连结 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ ，过 $P$ 作 $P F ⊥ A C$

$∴ P F ⊥$ 平面 $A B C$ ，过 $F$ 作 $E F // B C$

$∵ ∠ A B C = 90 °$

$∴ A B ⊥ E F$ ， $A B ⊥$ 平面 $P E F$

连结 $P E$ ，则 $A B ⊥ P E$

$∴ ∠ P E F$ 为二面角 $P - A B - C$ 的平面角， $∠ P E F = α$

在 $R t △ P E F$ 中， $P E = \frac{P F}{sin α} = \frac{A_{1} A}{sin α}$

设 $C$ 点到平面 $P A B$ 的距离为 $h$

则 $S_{△ P A B} \cdot h = S_{△ A B C} \cdot A_{1} A$

得 $h = A B \cdot sin α = \frac{\sqrt{2}}{2} (m + n) sin α$

评注:先作出二面角的平面角，再用“等体积法”求解，是解决此类问题的一般方法．

实践体验
在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高

    1、如图，已知正方形 $A B C D$ ，边长为1，过点 $D$ 作 $P D ⊥ 平面 A B C D$ ，且 $P D = 1$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 和 $B C$ 的中点

    (1)求 $D$ 点到平面 $P E F$ 的距离
    (2)求直线 $A C$ 到平面 $P E F$ 的距离

    提示示范　

    注意点面、线面、面面距离之间的转化

解:(1)方法一： $∵ E F ⊥ B D$ ， $E F ⊥ P D$

$∴ E F ⊥$ 平面 $P D B$
     $∴$ 平面 $P E F ⊥$ 平面 $P D B$ ，且交线为 $P G$
     $∴ D$ 点到平面 $P E F$ 的距离，就是 $D$ 到 $P G$ 的距离，设为 $h$
    在 $△ P D G$ 中， $h = \frac{P D \cdot D G}{P G}$ ，

又 $P D = 1 ， D G = \frac{3 \sqrt{2}}{4} ， P G = \sqrt{1 + \frac{18}{16}} = \frac{\sqrt{34}}{4}$
     $∴ h = \frac{1 \cdot \frac{3 \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{34}}{4}} = \frac{3 \sqrt{17}}{17}$ 就是 $D$ 点到平面 $P E F$ 的距离
    方法二： $∵ V_{D - P E F} = V_{P - D E F} ，即 \frac{1}{3} S_{△ P E F} \cdot h = \frac{1}{3} S_{△ D E F} \cdot P D$
     $∴ h = \frac{S_{△ D E F} \cdot P D}{S_{△ P E F}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{2}}{4}) \cdot 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{34}}{4}} = \frac{3 \sqrt{17}}{17}$
     $∴ D$ 点到平面 $P E F$ 的距离是 $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$

　

(2)连结 $A C$ 交 $B D$ 于 $O$ ，则 $O$ 到平面 $P E F$ 的距离即为所求，因为平面 $P D G ⊥$ 平面 $P F F$ ，所以 $O$ 到 $P G$ 的距离就是 $O$ 到平面的距离．如图在 $R t △ P D G$ 中， $O H ⊥ P G$

$∴ △ P D G ~ △ O H G$

$∴ \frac{P D}{O H} = \frac{P G}{O G} ， P D = 1 ， O G = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{2} ， P G = \sqrt{1 + {(\frac{3 \sqrt{2}}{4})}^{2}} = \frac{\sqrt{34}}{4}$

$∴ O H = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{34}}{4}} = \sqrt{\frac{1}{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$
     $∴ A C$ 到平面 $P E F$ 的距离是 $\frac{\sqrt{17}}{17}$


    评注:点到平面距离的求法：(1)直接求解法：作点到平面的垂线，然后通过解三角形或者向量自身的数量积来求其长度；(2)把点到面的距离看作是某个体积已知的几何体的高，利用等体积法求出高，即为点到平面的距离．

2、如图，已知正方体 $A B C D$ 的边长为 $4$ ， $E 、 F$ 分别是 $A B 、 A D$ 的中点， $G C = 2$ 且 $G C ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求 $C$ 点到平面 $E F G$ 的距离

提示

示范

解:连结 $A C$ 交 $E F$ 于 $M$ ，连结 $G M$ ，过 $C$ 作 $C H ⊥ G M$

$∵ G C ⊥$ 平面 $A B C D$

$∴ G C ⊥ E F$

在正方形 $A B C D$ 中， $E 、 F$ 是是 $A B 、 A D$ 的中点

$∴ E F ⊥ A C$

$∴ E F ⊥$ 平面 $G M C$

$∴ E F ⊥ C H$

$∴ C H ⊥$ 平面 $G E F$

$∴ C H$ 为点 $C$ 到平面 $E F G$ 的距离

在 $R t △ G C M$ 中，有 $C H = \frac{G C \cdot M C}{G M}$

$∵$ 正方体 $A B C D$ 的边长为 $4$ , $G C = 2$

$∴ A C = 4 \sqrt{2}$ ， $M C = \frac{3}{4} A C = 3 \sqrt{2}$ ， $M G = \sqrt{4 + 18} = \sqrt{22}$

$∴ C H = \frac{3 \times 3 \sqrt{2}}{\sqrt{22}} = \frac{6}{\sqrt{11}} = \frac{6 \sqrt{11}}{11}$

$∴$ 点 $C$ 到平面 $E F G$ 的距离等于 $\frac{6 \sqrt{11}}{11}$

评注:融计算于推理之中是近几年立体几何高考试题的一大特色，应充分重视

拓展探究
1、如图，在四棱锥 $V - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 是边长为4的菱形，并且 $∠ B A D = 120 °$ ， $V A = 3$ ， $V A$ $⊥$ 底面 $A B C D$ ， $O$ 是 $A C$ 、 $B D$ 的交点， $O E ⊥ V C$ 于 $E$ ，求：

    (1)点 $V$ 到 $C D$ 的距离
    (2)异面直线 $V C$ 与 $B D$ 的距离
    (3)点 $B$ 到平面 $V C D$ 的距离

提示

示范

(1)空间中的点到直线的距离即点到直线的垂线段的长，一般用三垂线定理作出，在直角三角形中用勾股定理求
解．

(2)两异面直线间的距离，考纲只要求会求给出公垂线段时的距离，如本题只要证明图中 $O E$ 是异面直线 $V C$ 与 $B D$ 的公垂线段即可解决．

(3)点到平面的距离，即点到平面的垂线段的长，一般用转化法转化为求两点之间的距离．

解:(1) $∵ ∠ B A D = 120$ °

$∴ ∠ A D C = 60 °$
$∴ △ A C D$ 是正三角形，取 $C D$ 的中点 $F$ ，连结 $A F$ 、 $V F$

$∴ C D ⊥ A F$ ，又 $V A ⊥$ 平面 $A B C D$

$∴ C D ⊥ V F$ (三垂线定理)
$∴ V F$ 为点 $V$ 到 $C D$ 的距离

$∵ A D = 4$

$∴ A F = 2 \sqrt{3}$
$∴ V F = \sqrt{V F^{2} + A F^{2}} = \sqrt{3^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{21}$

(2) $∵$ 底面四边形 $A B C D$ 是菱形

$∴ B D ⊥ A C$
又 $V A ⊥$ 底面 $A B C D$

$∴ V A ⊥ B D$
$∴ B D ⊥$ 平面 $V A C$

$∴ B D ⊥ O E$ ，又 $∵ O E ⊥ V C$

$∴ O E$ 是异面直线 $B D$ 和 $V C$ 的公垂线段

    由(1)可知 $O C = \frac{1}{2} A C = 2$
    $V C = \sqrt{V A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$
    $∵ △ C E 0 ≅ △ C A V$ ，

$∴ \frac{O E}{V A} = \frac{O C}{V C}$
$∴ O E = \frac{V A \cdot O C}{V C} = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5}$
　

(3) $∵ A B // C D$

    $∴ A B //$ 平面 $V C D$ ，点 $B$ 到平面 $V C D$ 的距离就等于点 $A$ 到平面 $V C D$ 的距离
    过 $A$ 作 $A H ⊥ V F$ 于 $H$
    由(1)知 $C D ⊥$ 平面 $V A F$

    $∴ C D ⊥ A H$
    $∴ A H ⊥$ 平面 $V C D$
    $∴ A H$ 是点 $A$ 到面 $V C D$ 的距离
    在 $R t △ V A F$ 中， $V A = 3$ ， $A F = 2 \sqrt{3}$ ， $V F = \sqrt{21}$ ， $V A^{2} = V H \cdot V F$

$∴ V H = \frac{3 \sqrt{21}}{7}$ ， $A H = \sqrt{V A^{2} - V H^{2}} = \sqrt{3^{2} - {(\frac{3 \sqrt{21}}{7})}^{2}} = \frac{6 \sqrt{7}}{7}$

评注:注意点面距离、线面距离、面面距离之间的相互转化．

基础训练

1、如图，正方体 $A B C D - A' B' C' D'$ 的棱长为8， $P$ 、 $Q$ 分别是棱 $A' B'$ 和 $B' C'$ 的中点，则点 $A'$ 到平面 $A P Q$ 的距离为( )

A. $\frac{8}{3}$ B. $\frac{7}{3}$ C. $\frac{5}{3}$ D. $\frac{4}{3}$

    2、已知平面 $α$ 外不共线的三点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 到 $α$ 的距离都相等，则正确的结论是(   )
    A.平面 $A B C$ 必平行于 $α$      B.平面 $A B C$ 必与 $α$ 相交

C.平面 $A B C$ 必不垂直于 $α$ D.存在 $△ A B C$ 的一条中位线平行于 $α$ 或在 $α$ 内

    3、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面是边长为2的正三角形，侧棱 $A A_{1}$ 与下底面相邻两边 $A B$ 、 $A C$ 均成 $60 °$ ，则点 $A_{1}$ 到平面 $B_{1} B C C_{1}$ 的距离为(   )
    A. $\sqrt{3}$        B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$        C. $\sqrt{2}$        D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
    4、三棱锥 $S - A B C$ 的底面是等腰三角形， $∠ B A C = α$ ， $A B = A C = a$ ，棱锥的所有侧棱与底面都成角 $β$ ，则 $S$ 到底面 $A B C$ 的距离为(   )

A. $\frac{a tan β}{2 cos (\frac{α}{2})}$ B. $\frac{a cot β}{2 cos (\frac{α}{2})}$ C. $\frac{a tan β}{2 sin (\frac{α}{2})}$ D. $\frac{a tan β}{2 cos (\frac{α}{2})}$

5、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为1，则点 $B_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离为______

    6、已知三棱锥 $P - A B C$ ， $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A = 60 °$ ， $P A = 3 c m$ ，则点 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离为______cm
    7、多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的．如图，正方体的一个顶点 $A$ 在平面 $α$ 内，其余顶点在 $α$ 的同侧，正方体上与顶点 $A$ 相邻的三个顶点到 $α$ 的距离分别为1，2和4． $P$ 是正方体的其余四个顶点中的一个，则 $P$ 到平面 $α$ 的距离可能是______(写出所有正确结论的编号)
    ①3   ②4   ③5   ④6   ⑤7

8、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = a$ ， $A A_{1} = 2 a$ ， $D$ 是侧棱 $B B_{1}$ 的中点，求点 $B$ 到平面 $A D C$ 的距离．

参考答案

1、如图，正方体 $A B C D - A' B' C' D'$ 的棱长为8， $P$ 、 $Q$ 分别是棱 $A' B'$ 和 $B' C'$ 的中点，则点 $A'$ 到平面 $A P Q$ 的距离为( A )

A. $\frac{8}{3}$ B. $\frac{7}{3}$ C. $\frac{5}{3}$ D. $\frac{4}{3}$

    2、已知平面 $α$ 外不共线的三点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 到 $α$ 的距离都相等，则正确的结论是( D )
    A.平面 $A B C$ 必平行于 $α$      B.平面 $A B C$ 必与 $α$ 相交

C.平面 $A B C$ 必不垂直于 $α$ D.存在 $△ A B C$ 的一条中位线平行于 $α$ 或在 $α$ 内

    3、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面是边长为2的正三角形，侧棱 $A A_{1}$ 与下底面相邻两边 $A B$ 、 $A C$ 均成 $60 °$ ，则点 $A_{1}$ 到平面 $B_{1} B C C_{1}$ 的距离为( C )
    A. $\sqrt{3}$        B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$        C. $\sqrt{2}$        D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
    4、三棱锥 $S - A B C$ 的底面是等腰三角形， $∠ B A C = α$ ， $A B = A C = a$ ，棱锥的所有侧棱与底面都成角 $β$ ，则 $S$ 到底面 $A B C$ 的距离为( A )

A. $\frac{a tan β}{2 cos (\frac{α}{2})}$ B. $\frac{a cot β}{2 cos (\frac{α}{2})}$ C. $\frac{a tan β}{2 sin (\frac{α}{2})}$ D. $\frac{a tan β}{2 cos (\frac{α}{2})}$

5、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为1，则点 $B_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离为______

答案： $\frac{\sqrt{21}}{7}$

6、已知三棱锥 $P - A B C$ ， $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A = 60 °$ ， $P A = 3 c m$ ，则点 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离为______cm

答案： $6$

7、多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的．如图，正方体的一个顶点 $A$ 在平面 $α$ 内，其余顶点在 $α$ 的同侧，正方体上与顶点 $A$ 相邻的三个顶点到 $α$ 的距离分别为1，2和4． $P$ 是正方体的其余四个顶点中的一个，则 $P$ 到平面 $α$ 的距离可能是______(写出所有正确结论的编号)
①3 ②4 ③5 ④6 ⑤7

答案：①③④⑤

8、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = a$ ， $A A_{1} = 2 a$ ， $D$ 是侧棱 $B B_{1}$ 的中点，求点 $B$ 到平面 $A D C$ 的距离．

答案： $\frac{\sqrt{5}}{5} a$

提高训练

1、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点，若 $P$ 到直线 $B C$ 与直线 $C_{1} D_{1}$ 的距离相等，则动点 $P$ 的轨迹所在的曲线是( )

A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线

2、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $M$ 在棱 $A B$ 上，且 $A M = \frac{1}{3}$ ，点 $P$ 在平面 $A B C D$ 上，且动点 $P$ 到直线 $A_{1} D_{1}$ 的距离的平方与 $P$ 到点 $M$ 的距离的平方的差为1，在 $x A y$ 直角坐标系中，动点 $P$ 的轨迹方程是______