§9.5 直线与平面所成的角和平面与平面所成的角

第九章直线、平面、简单几何体(B)
§9.5 直线与平面所成的角和平面与平面所成的角

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角的概念，会求线线、线面、面面角．

二、重点难点
(这里输入)

三、特别提示
(1)空间角包括两异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角．求空间角首先要把它转化为平面角，然后再用代数的方法、三角的方法或向量的方法求出它，这就淋漓尽致地体现了转化的思想、数形结合的思想，充分地展示了平移法、射影法这些立体几何特有方法的威力，还能很好地考查线面关系等立体几何的骨干知识．

(2)直线与平面所成角的范围是 $[0 ° ， 90 °]$

找一条直线与平面的交角，要过直线上一点向平面作垂线，关键是要找到垂足落在何处，才好求出直线与平面的交角．

(3)二面角的范围是 $[0 ° ， 180 °]$

二面角的平面角的作法是重点．构作二面角的平面角主要有五种方法：

①根据定义；

②利用三垂线定理；

③当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底面的两条中线；

④当求正棱锥侧面夹角时利用全等三角形；

⑤在直棱柱中求截面与底面夹角时，用二面角的面积射影定理斗 $S_{射} = S_{斜} \cdot cos θ$ ，其中 $θ$ 为二面角大小．

(4)求角的一般步骤是：

    ①找出或作出有关的平面角；
    ②证明它符合定义；
    ③归到某一三角形中进行计算，为了便于记忆，可总结口诀：“—找二证三计算”．立体几何中计算题要有推理过程，而评分标准中，推理部分占分不少，考生往往只注意计算，不注意推理，造成不必要的失分，应引以为戒．

知识梳理

1、斜线 $A O$ 与它在平面 $α$ 的射影 $A B$ 所成的角 $θ_{1}$ 叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．设 $A C$ 是 $α$ 内的一条直线， $A O$ 与 $A C$ 所成的角为 $θ$ ， $A B$ 与 $A C$ 所成的角为 $θ_{2}$ ，则 $θ_{1}$ 、 $θ_{2}$ 、 $θ$ 的余弦值关系是 $cos θ = {cos θ}_{1} \cdot {cos θ}_{2}$ ．

2、平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么说直线和平面所成的角是 $0 °$ 的角．

3、直线和平面所成角的范围为 $[0 ° ， 90 °]$ ．

4、斜线和所交平面所成的角的范围为 $(0 ° ， 90 °)$ ．

5、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为 $l$ ，两个面分别 $α 、 β$ 的二面角记为 $α - l - β$ ．

6、一个平面垂直于二面角的棱个 $l$ ，且与两个半平面的交线分别是射线 $A O$ 、 $O B$ ，则 $∠ A O B$ 叫做二面角 $α - l - β$ 的平面角．二面角的范围是 $(0 ° ， 180 °)$ ．二面角是直角的二面角叫做直二面角．相交成直二面角的两个平面，叫做互相垂直的平面．

    应用举例
    一、应用特点
    1、异面直线所成的角
    2、直线与平面所成的角
    3、二面角的平面角

二、案例示范
回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范

1、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{l} C_{l} D_{1}$ 中，若 $E 、 F$ 分别为 $A B 和 B B_{1}$ 的中点，求 $A_{1} E$ 与 $C F$ 所成角的余弦值．

提示

示范

异面直线夹角的求法，利用给定图形，平移异面直线中的某一条来得到

A_{1} E 和 C F

所成的角

解:过 $A_{1} E$ 和点 $C$ 作平面 $α$ ．设 $α$ 交 $C_{1} D_{1}$ 于 $E'$ ，则 $A_{1} E // E' C$ ， $A_{1} E' // E C$

$∴ 四边形 A_{1} E C E'$ 为平行四边形
$∴ ∠ E' C F$ (或其补角)即为异面直线 $A_{1} E 与 C F$ 所成的角

设正方形边长为 $a$ ，则 $E' C = \frac{\sqrt{5}}{2} a$ ， $C F = \frac{\sqrt{5}}{2} a$ ，连结 $E' F 和 B_{1} E'$

$∵ B B_{1} ⊥ 平面 A_{1} C_{1}$

$∴ E' F = \sqrt{B_{1} F^{2} + E' B_{1}^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} a$

由余弦定理知 $cos ∠ E' C F = \frac{2}{5}$

即 $A_{1} E$ 与 $C F$ 所成角的余弦值为 $\frac{2}{5}$

评注:异面直线所成的角为历年高考题的必考题型，常出现于选择和填空题中，要注意其范围是 $(0 ° ， 90 °]$ ，而求角时常用余弦定理解斜三角形，有时会求得余弦值为负的情况．这时要转化为其补角．

2、在直二面角 $α - l - β$ 内有线段 $A B ， A \in 平面 α$ ， $B \in 平面 β$ ，且 $A B$ 与平面 $β$ 所成的角是 $45 °$ ，如果 $A B$ 在平面 $β$ 内的射影与棱 $l$ 所成角为 $45 °$ ，求 $A B$ 与平面 $α$ 所成的角

提示

示范

求解线面角，首先应根据定义，找到

A B

在面

α

上的射影，即找到线面角，再解之．

解:过点 $A$ 在平面 $α$ 内作 $A C ⊥ l 于 C$ ，如图所示，连结 $B C$ ，在平面 $β$ 内，过点 $B$ 作 $B D ⊥ l$ 于 $D$ ，连结 $A D$

$∵ α ⊥ β$ ， $A C \subset$ 平面 $α$ ， $A C ⊥ l$

$∴ A C ⊥$ 平面 $β$

$∴ B C$ 是 $A B$ 在平面 $α$ 内的射影

$∴ ∠ A B C = 45 °$

同理， $∠ B A D$ 是 $B A$ 与平面 $α$ 所成的角
设 $B C = a$ ，则在 $R t △ A B C$ 中， $A B = \frac{a}{cos 45 °} = \sqrt{2} a$

在 $R t △ B C D 中$ ， $∵ sin ∠ B C D = 45 ° (已知)$
$∴ B D = a sin 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2} a$

在 $R t △ B A D$ 中， $∵ sin ∠ B A D = \frac{B D}{A B} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
$∴ ∠ B A D = 30 °$ ，即直线 $A B$ 与平面 $α$ 所成角分别是 $30 °$

评注:线面角的求解，关键是找到斜线在平面内的射影的位置．也就是找到线面角，再去解这个由斜线、射影以及垂线组成的直角三角形．

3、如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱长和底面边长均为 $1$ ， $M$ 是底面 $B C$ 边上的中点， $N 是侧棱 C C_{1}$ 上的点，且 $C N ＝ 2 C_{1} N$

(1)求二面角 $B_{1} - A M - N$ 的平面角的余弦值
(2)求点 $B_{1}$ 到平面 $A M N$ 的距离

提示

示范

由于三棱柱是正三棱柱，交线是

A M

，故可运用二面角的平面角的定义作平面角，然后求解．

解:(1)因为 $M$ 是底面 $B C$ 边上的中点，所以 $A M ⊥ B C$

又 $A M ⊥ C C_{1}$

$∴ A M ⊥$ 平面 $B ℂ_{1} B$

     $∴ A M ⊥ B_{1} M ， A M ⊥ N M$
     $∴ ∠ B_{1} M N$ 为二面角 $B_{1} - A M - N$ 的平面角
    又 $B_{1} M = \sqrt{B_{1} B^{2} + B M^{2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$M N = \sqrt{M C^{2} + C N^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4}{9}} = \frac{5}{6}$

连结 $B_{1} N$ ，得 $B_{1} N = \sqrt{B_{1} C_{1}^{2} + C_{1} N^{2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$

在 $△ B_{1} M N$ 中，由余弦定理得

$cos ∠ B_{1} M N = \frac{B_{1} M^{2} + M N^{2} - B_{1} N^{2}}{2 \cdot B_{1} M \cdot M N}$

$= \frac{\frac{5}{4} + \frac{25}{36} - \frac{10}{9}}{2 \times \frac{\sqrt{5}}{2} \times \frac{5}{6}}$

$= \frac{\sqrt{5}}{5}$

$∴$ 所求二面角 $B_{1} - A M - N$ 的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

(2)过 $B_{1}$ 在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 内作直线 $B_{1} H ⊥ M N ， H$ 为垂足

又 $A M ⊥ 平面 B C C_{1} B_{1}$

$∴ A M ⊥ B_{1} H$
$∴ B_{1} H ⊥$ 平面 $A M N$

$∴ B_{1} H$ 即为 $B_{1}$ 到平面 $A M N$ 的距离

在 $R t △ B_{1} H M$ 中， $B_{1} H = B_{1} M sin ∠ B_{1} M H = \frac{\sqrt{5}}{2} \times \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = 1$

$∴ 点 B_{1} 到平面 A M N 的距离为 1$

评注:求二面角 $B_{1} - A M - N$ 的大小关键是找到平面角

实践体验
在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高

    1、在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A ⊥ 平面 A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $D E$ 垂直平分 $S C$ ，且分别交 $A C$ 、 $S C$ 于 $D 、 E$ ，又 $S A = A B = a$ ， $B C = \sqrt{2} a$

(1)求证： $S C ⊥$ 平面 $B D E$

(2)求平面 $B D E$ 与平面 $B D C$ 所成二面角的大小

　

    提示示范　

    可运用二面角的平面角的定义作平面角，然后求解．

解:(1)证明： $∵ S A ⊥$ 平面 $A B C ， A B 、 A C 、 B D$ $\subset$ 平面 $A B C$
     $∴$ $S A ⊥ A B ， S A ⊥ A C ， S A ⊥ B D$
     $∴ S B = \sqrt{S A^{2} + A B^{2}} = \sqrt{2} a$
     $∵ B C = \sqrt{2} a$
     $∴ S B = B C$
     $∵ E$ 为 $S C$ 的中点
     $∴ B E ⊥ S C ，又 D E ⊥ S C$
     $∴ S C ⊥$ 平面 $B D E$

    (2)由(1)的结论及 $B D \subset$ 平面 $B D E$ ，得 $B D ⊥ S C$

再由 $B D ⊥$ 平面 $S A C$

而 $C D 、 D E \subset$ 平面 $S A C$

$∴ B D ⊥ C D ， B D ⊥ D E$

$∴ ∠ C D E$ 为平面 $B D E$ 与平面 $B D E$ 所成的二面角的平面角

由 $A B ⊥ B C$ ，得 $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + 2 a^{2}} = \sqrt{3} a$

在 $R t △ S A C$ 中， $tan ∠ S C A = \frac{S A}{A C} = \frac{a}{\sqrt{3} a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$∴ ∠ S C A = 30 °$

$∴ ∠ C D E = 90 ° - ∠ S C A = 60 °$



   评注:求二面角时，一定要先证后用，不加论证就断言所作(或找)的角就是所求二面角的平面角是常犯的知识性错误．因此，解答这类题一般都遵循“作-证-述-算”的基本步骤，而在证明平面角时，往往会用到线面垂直．

2、(06·陕西19)如图， $α ⊥ β ， α \cap β = l ， A \in α ， B \in β$ ，点 $A$ 在直线 $l$ 上的射影为 $A_{1}$ ，点 $B$ 在 $l$ 上的射影为 $B_{1}$ ．已知 $A B = 2$ ， $A A_{1}$ $= 1$ ， $B B_{1}$ = $\sqrt{2}$ ，求：

(1)直线 $A B$ 分别与平面 $α$ 、 $β$ 所成角的大小
(2)二面角 $A_{1} - A B - B_{1}$ 的大小

提示

示范

解:(1)如图，连结 $A_{1} B 、 A B_{1}$

    $∵ α ⊥ β ， α \cap β = l$ ， $A A_{1}$ $⊥ l$ ， $B B_{1} ⊥ l$
    则 $∠ B A B_{1} 、 ∠ A B A_{1}$ 分别是 $A B$ 与 $α$ 和 $β$ 所成的角
     $R t △ B B_{1} A$ 中， $B B_{1} = \sqrt{2}$ ， $A B = 2$
     $∴ sin ∠ B A B_{1} = \frac{B B_{1}}{A B} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
     $∴ ∠ B A B_{1} = 45 °$
     $R t △ A A_{1} B$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$
     $∴ sin ∠ A B A_{1}$ = $\frac{A A_{1}}{A B} = \frac{1}{2}$
     $∴ ∠ A B A_{1} = 30 °$
    故直线 $A B$ 分别与平面 $α 、 β$ 所成角分别是 $45 ° 、 30 °$

(2)方法一： $∵$ $B B_{1}$ $⊥ α$ ，

$∵$ 平面 $A B B_{1}$ $⊥ α$ ，在平面 $α$ 内过 $A_{1}$ 作 $A_{1} E ⊥ A B_{1}$ 交 $A B_{1} 于 E$ ，则 $A_{1} E$ $⊥$ 平面 $A B_{1} B$

过 $E$ 作 $E F ⊥ A B$ 交 $A B$ 于 $F$ ，连结 $A_{1} F$ ，则由三垂线定理得 $A_{1} E ⊥ A B$

$∴ ∠ A_{1} F E$ 就是所求二面角的平面角

在 $R t △ A B B_{1}$ 中， $∠ B A B_{1} = 45 °$

$∴ A B_{1} = B_{1} B = \sqrt{2}$

在 $R t △ A A_{1} B_{1}$ 中， $A A_{1}$ = $A_{1} B_{1} = 1$
$∴ A_{1} E$ = $\frac{1}{2} A B_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

在 $R t △ A A_{1} B$ 中， $A_{1} B$ = $\sqrt{A B^{2} - A A_{1}^{2}} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$
由 $A A_{1}$ · $A_{1} B$ = $A_{1} F \cdot A B$ ，得 $A_{1} F = \frac{A A_{1} \cdot A_{1} B}{A B} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$∴$ 在 $R t △ A_{1} E F$ 中， $sin ∠ A_{1} E F = \frac{A_{1} E}{A_{1} F} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$∴$ 二面角 $A_{1} - A B - B_{1}$ 的大小为 $a r c sin (\frac{\sqrt{6}}{3})$

方法二：

如图，建立坐标系．则 $A_{1} (0 ， 0 ， 0) ， A (0 ， 0 ， 1) ，$

B_1(0，1，0)，B(sqrt(2)，1，0)

在 $A B$ 上取一点 $F (x ， y ， z)$ ，则存在 $t \in R$ ，使得 $\vec{A F} = t \vec{A B}$

即 $(x ， y ， z - 1) = t (\sqrt{2} ， 1 ， - 1)$

$∴$ 点 $F$ 的坐标为 $(\sqrt{2} t ， t ， 1 - t)$

要使 $\vec{A_{1} F} ⊥ \vec{A B}$ ，需 $\vec{A_{1} F} \cdot \vec{A B} = 0$

即 $(\sqrt{2} t ， t ， 1 - t) \cdot (\sqrt{2} ， 1 ， - 1) = 0$

即 $2 t + t - (1 - t) = 0$ ，解得 $t = \frac{1}{4}$

点 $F$ 的坐标为 $(\frac{\sqrt{2}}{4} ， \frac{1}{4} ， \frac{3}{4})$

$∴ \vec{A_{1} F} = (\frac{\sqrt{2}}{4} ， \frac{1}{4} ， \frac{3}{4})$

设 $E$ 为 $A B_{1}$ 的中点，则点 $E$ 的坐标为 $(0 ， \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$
$∴ \vec{E F} = (\frac{\sqrt{2}}{4} ， - \frac{1}{4} ， \frac{1}{4})$

又 $\vec{E F} \cdot \vec{A B} = (\frac{\sqrt{2}}{4} ， - \frac{1}{4} ， \frac{1}{4}) \cdot (\sqrt{2} ， 1 ， - 1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$

$∴ \vec{E F} ⊥ \vec{A B}$

$∴ ∠ A_{1} F E$ 即为所求二面角的平面角

又 $cos ∠ A_{1} F E = \frac{\vec{A_{1} F} \cdot \vec{E F}}{| \vec{A_{1} F} | | \vec{E F} |} = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{4} ， \frac{1}{4} ， \frac{3}{4}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{4} ， - \frac{1}{4} ， \frac{1}{4})}{\sqrt{\frac{2}{16} + \frac{1}{16} + \frac{9}{16}} \cdot \sqrt{\frac{2}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}}} = \frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \frac{3}{16}}{\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$∴$ 二面角 $A_{1} - A B - B_{1}$ 的余弦值的大小为 $a r c cos (\frac{\sqrt{3}}{3})$

评注:求二面角大小一般首先找出或作出二面角的平面角，解法二用向量求二面角的大小也是一种有效方法．

拓展探究
1、如图，矩形 $A B C D$ 中， $P D ⊥ 平面 A B C D$ ，若 $P B = 2$ ， $P B$ 与平面 $P C D$ 所成的角为 $45 °$ ， $P B$ 与平面 $A B D$ 成 $30 °$

(1)求 $C D$ 的长；

(2)求 $P B$ 与 $C D$ 所成的角

(3)求二面角 $C - P B - D$ 的余弦值

提示

示范

解:(1) $∵ P D ⊥$ 平面 $A B C D$

$∴ P D ⊥ B C$ ，又 $B C ⊥ D C$

$∴ B C ⊥$ 平面 $P D C$
$∵ ∠ B P C$ 为 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成的角，即 $∠ B P C = 45 °$

同理， $∠ P B D$ 即为 $P B$ 与平面 $A B D$ 所成的角

$∴ ∠ P B D = 30 °$

在 $R t △ P B C$ 中， $∵ P B = 2$

$∵ B C = P C = \sqrt{2}$

在 $R t △ P B D$ 中， $∠ P B D = 30 °$

$∴ P D = 1$ ， $B D = \sqrt{3}$

在 $R t △ B C D$ 中， $B C = \sqrt{2}$ ， $B D = \sqrt{3}$

$∴ C D = 1$

(2) $∵ A B // C D$

$∴ P B$ 与 $C D$ 所成的角即为 $P B$ 与 $A B$ 所成的角， $∠ P B A$ 即为 $P B$ 与 $A B$ 所成的角

$∵ P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$

$∴ P A ⊥ A B$
在 $R t △ P A B$ 中， $A B = C D = 1$ ， $P B = 2$

$∴ ∠ P B A = 60 °$

(3)由点 $C$ 向 $B D$ 作垂线，垂足为 $E$ ，由点 $E$ 向 $P B$ 作垂线，垂足为 $F$ ，连结 $C F$
$∵ P D ⊥$ 平面 $A B C D$

$∴ P D ⊥ C E$ ，又 $C E ⊥ B D$

$∴ C E ⊥$ 平面 $P B D$

$C F$ 为平面 $P B D$ 的斜线， $∵ E F ⊥ P B$

$∴ P B ⊥ C F$
$∵ ∠ C F E$ 为二面角 $C - P B - D$ 的平面角

    在 $R t △ B C D$ 中， $B C = \sqrt{2}$ ， $D c = 1$ ， $B D = \sqrt{3}$
    $∴ C E = \frac{B C \cdot C D}{B D} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
    在 $R t △ P C B$ 中， $B C = \sqrt{2}$ ， $P C = \sqrt{2}$ ， $P B = 2$
    $∴ C F = \frac{B C \cdot C P}{P B} = 1$

$∴ sin ∠ C F E = \frac{C B}{C F} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$∴ cos ∠ C F E = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$∴$ 二面角 $C - P B - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

评注:“平移法”即把异面直线转化为求两条相交直线所成的角，需要通过引平行直线，化归为平面几何问题来解决．实际解题时，为了便于计算，一般遵循尽量依附原几何体，尽量保证量的传递畅通，因此，中点、中位线等应用非常广泛．

基础训练

    1、在二面角的一个而内有一点，它到棱的距离是它到另个而的距离的 $\sqrt{2}$ 倍，则这个二面角的大小是(   )
    A. $60 °$       B. $45 °$       C. $135 °$       D. $45 °$ 或 $135 °$
    2、二面角 $α - A B - β$ 内一点 $P$ 到两个平面 $α$ 、 $β$ 和棱 $A B$ 的距离之比为 $1 : \sqrt{2} : 2$ ，则这个二面角的度数是(   )
    A. $30 °$       B. $45 °$       C. $75 °$       D. $135 °$
    3、已知球 $O$ 的半径是l， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点都在球面上， $A$ 、 $B$ 两点和 $A$ 、 $C$ 两点的球面距离都是 $\frac{π}{4}$ ， $B$ 、 $C$ 两点的球面距离是 $\frac{π}{3}$ ，则二面角 $B - O A - C$ 的大小是(   )

A. $\frac{π}{4}$ B. $\frac{π}{3}$ C. $\frac{π}{2}$ D. $\frac{2 π}{3}$

    4、三棱锥各侧而与底面所成角都是 $60 °$ ，且底面三角形三边长分别为3、4、5，那么三棱锥的侧面积是(   )
    A.4       B.18       C.12       D. $4 \sqrt{3}$
    5、在二面角的一个面内有一条直线与另一个面成 $30 °$ 角，这条直线与二面角的棱成 $45 °$ 角，则该二面角的大小为______
    6、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为 $2 \sqrt{6}$ ，则侧面与底面所成的二面角等于______
    7、已知一个 $60 °$ 的二面角的棱上有两点 $A$ 、 $B$ ，分别在两个面内作垂直于 $A B$ 的线段 $A C$ 、 $B D$ ，若 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，则 $C D =$ ______

8、在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $D E$ 在平面 $S A C$ 内， $D E$ 垂直平分 $S C$ ，且分别交 $A C$ 、 $S C$ 于 $D$ 、 $E$ ，又 $S A = A B$ ， $S B = B C$ ，求以 $B D$ 为棱， $B D E$ 与 $B D C$ 为面的二面角的度数

参考答案

    1、在二面角的一个而内有一点，它到棱的距离是它到另个而的距离的 $\sqrt{2}$ 倍，则这个二面角的大小是( D )
    A. $60 °$       B. $45 °$       C. $135 °$       D. $45 °$ 或 $135 °$
    2、二面角 $α - A B - β$ 内一点 $P$ 到两个平面 $α$ 、 $β$ 和棱 $A B$ 的距离之比为 $1 : \sqrt{2} : 2$ ，则这个二面角的度数是( C )
    A. $30 °$       B. $45 °$       C. $75 °$       D. $135 °$
    3、已知球 $O$ 的半径是l， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点都在球面上， $A$ 、 $B$ 两点和 $A$ 、 $C$ 两点的球面距离都是 $\frac{π}{4}$ ， $B$ 、 $C$ 两点的球面距离是 $\frac{π}{3}$ ，则二面角 $B - O A - C$ 的大小是( C )

A. $\frac{π}{4}$ B. $\frac{π}{3}$ C. $\frac{π}{2}$ D. $\frac{2 π}{3}$

    4、三棱锥各侧而与底面所成角都是 $60 °$ ，且底面三角形三边长分别为3、4、5，那么三棱锥的侧面积是( C )
    A.4       B.18       C.12       D. $4 \sqrt{3}$
    5、在二面角的一个面内有一条直线与另一个面成 $30 °$ 角，这条直线与二面角的棱成 $45 °$ 角，则该二面角的大小为______

答案： $45 °$ 或 $135 °$
6、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为 $2 \sqrt{6}$ ，则侧面与底面所成的二面角等于______

答案： $\frac{π}{3}$
7、已知一个 $60 °$ 的二面角的棱上有两点 $A$ 、 $B$ ，分别在两个面内作垂直于 $A B$ 的线段 $A C$ 、 $B D$ ，若 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，则 $C D =$ ______

答案： $2 \sqrt{17}$

答案： $\frac{π}{3}$

提高训练

1、如图，在正 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为各边的中点， $G$ 、 $H$ 、 $I$ 、 $J$ 分别为 $A F$ 、 $A D$ 、 $B E$ 、 $D E$ 的中点，将 $△ A B C$ 沿 $D E$ 、 $E F$ 、 $D F$ 折成三棱锥以后， $G H$ 与 $I J$ 所成角的度数为( )
A. $90 °$ B. $60 °$ C. $45 °$ D. $0 °$

2、将三棱锥 $P - A B C$ (如图甲)沿三条侧棱剪开后，展开成如下图乙的形状，其中 $P_{1}$ 、 $B$ 、 $P_{2}$ 共线， $P_{2}$ 、 $C$ 、 $P_{3}$ 共线，且 $P_{1} P_{2} = P_{2} P_{3}$ ，则在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A$ 与 $B C$ 所成角的大小是______

3、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = B B_{1} = 1$ ， $E$ 为 $D_{1} C_{1}$ 的中点，求二面角 $E - B D - C$ 的正切值

4、在棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $A_{1} D_{1}$ 的中点

(1)求证：四边形 $B_{1} E D F$ 是菱形

(2)求直线 $A_{1} C$ 与 $D E$ 所成的角

(3)求直线 $A D$ 与平面 $B_{1} E D F$ 所成的角

参考答案

1、如图，在正 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为各边的中点， $G$ 、 $H$ 、 $I$ 、 $J$ 分别为 $A F$ 、 $A D$ 、 $B E$ 、 $D E$ 的中点，将 $△ A B C$ 沿 $D E$ 、 $E F$ 、 $D F$ 折成三棱锥以后， $G H$ 与 $I J$ 所成角的度数为( B )
A. $90 °$ B. $60 °$ C. $45 °$ D. $0 °$

答案： $\frac{π}{2}$

3、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = B B_{1} = 1$ ， $E$ 为 $D_{1} C_{1}$ 的中点，求二面角 $E - B D - C$ 的正切值

答案： $\sqrt{5}$

4、在棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $A_{1} D_{1}$ 的中点

(1)求证：四边形 $B_{1} E D F$ 是菱形

(2)求直线 $A_{1} C$ 与 $D E$ 所成的角

(3)求直线 $A D$ 与平面 $B_{1} E D F$ 所成的角

答案：(1)略 (2) $a r c cos (\frac{\sqrt{15}}{15})$ (3) $a r c cos (\frac{\sqrt{3}}{3})$

学习感悟

二面角的大小是用它的平面角来度量的．找(或作)出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下几种方法：
(1)定义法：直接在二面角的棱上取—点(特殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性．

(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作平面角．

(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．

(4)射影法：利用面积射影公式 $S_{射} = S_{投} \cdot cos θ$ ，其中 $θ$ 为平面角的大小，此方法不必在图中画出平面角来．

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