解:过`A_1E`和点`C`作平面`alpha`．设`alpha`交`C_1D_1`于`E'`，则`A_1E"//"E'C`，`A_1E'"//"EC`

`:.四边形A_1ECE'`为平行四边形     `:./_E'CF`(或其补角)即为异面直线`A_1E与CF`所成的角     设正方形边长为`a`，则`E'C=sqrt5/2a`，`CF=sqrt5/2a`，连结`E'F和B_1E'`     `.:BB_1_|_平面A_1C_1`     `:.E'F=sqrt(B_1F^2+E'B_1^2)=sqrt6/2a`     由余弦定理知`cos/_E'CF=2/5`     即`A_1E`与`CF`所成角的余弦值为`2/5`

    评注:异面直线所成的角为历年高考题的必考题型，常出现于选择和填空题中，要注意其范围是`(0°，90°]`，而求角时常用余弦定理解斜三角形，有时会求得余弦值为负的情况．这时要转化为其补角．

    解:过点`A`在平面`alpha`内作`AC_|_l于C`，如图所示，连结`BC`，在平面`beta`内，过点`B`作`BD_|_l`于`D`，连结`AD`      

`.:alpha_|_beta`，`ACsub`平面`alpha`，`AC_|_l`     `:.AC_|_`平面`beta`     `:.BC`是`AB`在平面`alpha`内的射影     `:./_ABC=45°`          同理，`/_BAD`是`BA`与平面`alpha`所成的角     设`BC=a`，则在`Rt△ABC`中，`AB=a/(cos45°)=sqrt2a`     在`Rt△BCD中`，`.:sin/_BCD=45°(已知)`     `:.BD=asin45°=sqrt2/2a`     在`Rt△BAD`中，`.:sin/_BAD=(BD)/(AB)=(sqrt2/2a)/(sqrt2)=1/2`     `:./_BAD=30°`，即直线`AB`与平面`alpha`所成角分别是`30°`

    评注:线面角的求解，关键是找到斜线在平面内的射影的位置．也就是找到线面角，再去解这个由斜线、射影以及垂线组成的直角三角形．

    解:(1)因为`M`是底面`BC`边上的中点，所以`AM_|_BC`

又`AM_|_C C_1`     `:.AM_|_`平面`BCC_1B`     `:.AM_|_B_1M，AM_|_NM`     `:./_B_1MN`为二面角`B_1-AM-N`的平面角     又`B_1M=sqrt(B_1B^2+BM^2)=sqrt(1+1/4)=sqrt5/2`     `MN=sqrt(MC^2+CN^2)=sqrt(1/4+4/9)=5/6`     连结`B_1N`，得`B_1N=sqrt(B_1C_1^2+C_1N^2)=sqrt(1+1/9)=sqrt10/3`     在`△B_1MN`中，由余弦定理得     `cos/_B_1MN=(B_1M^2+MN^2-B_1N^2)/(2·B_1M·MN)`     `=(5/4+25/36-10/9)/(2xxsqrt5/2xx5/6)`     `=sqrt5/5`     `:.`所求二面角`B_1-AM-N`的平面角的余弦值为`sqrt5/5`

    (2)过`B_1`在平面`BC C_1B_1`内作直线`B_1H_|_MN，H`为垂足

    又`AM_|_平面BC C_1B_1`

    `:.AM_|_B_1H`
    `:.B_1H_|_`平面`AMN`

    `:.B_1H`即为`B_1`到平面`AMN`的距离

    在`Rt△B_1HM`中，`B_1H=B_1Msin/_B_1MH=sqrt5/2xxsqrt(1-1/5)=1`

    `:.点B_1到平面AMN的距离为1`

    评注:求二面角`B_1-AM-N`的大小关键是找到平面角

    解:(1)如图，连结`A_1B、AB_1`          

`.:alpha_|_beta，alphannbeta=l`，`A A_1``_|_l`，`BB_1_|_l`     则`/_BAB_1、/_ABA_1`分别是`AB`与`alpha`和`beta`所成的角     `Rt△BB_1A`中，`BB_1=sqrt2`，`AB=2`     `:.sin/_BAB_1=(BB_1)/(AB)=sqrt2/2`     `:./_BAB_1=45°`     `Rt△A A_1B`中，`A A_1=1`，`AB=2`     `:.sin/_ABA_1`=`(A A_1)/(AB)=1/2`     `:./_ABA_1=30°`     故直线`AB`分别与平面`alpha、beta`所成角分别是`45°、30°`          (2)方法一：`.:``BB_1``_|_alpha`，     `.:`平面`ABB_1``_|_alpha`，在平面`alpha`内过`A_1`作`A_1E_|_AB_1`交`AB_1于E`，则`A_1E``_|_`平面`AB_1B`

    过`E`作`EF_|_AB`交`AB`于`F`，连结`A_1F`，则由三垂线定理得`A_1E_|_AB`

    `:./_A_1FE`就是所求二面角的平面角

    在`Rt△ABB_1`中，`/_BAB_1=45°`

    `:.AB_1=B_1B=sqrt2`

    在`Rt△A A_1B_1`中，`A A_1`=`A_1B_1=1`
    `:.A_1E`=`1/2AB_1=sqrt(2)/2`

    在`Rt△A A_1B`中，`A_1B`=`sqrt(AB^2-A A_1^2)=sqrt(4-1)=sqrt(3)`
    由`A A_1`·`A_1B`=`A_1F·AB`，得`A_1F=(A A_1·A_1B)/(AB)=(1xxsqrt3)/2=sqrt(3)/2`          

    `:.`在`Rt△A_1EF`中，`sin/_A_1EF=(A_1E)/(A_1F)=sqrt(6)/3`

    `:.`二面角`A_1-AB-B_1`的大小为`arcsin(sqrt6/3)`

    方法二：

如图，建立坐标系．则`A_1(0，0，0)，A(0，0，1)，     B_1(0，1，0)，B(sqrt(2)，1，0)`     在`AB`上取一点`F(x，y，z)`，则存在`tinR`，使得`vec(AF)=tvec(AB)`     即`(x，y，z-1)=t(sqrt(2)，1，-1)`     `:.`点`F`的坐标为`(sqrt(2)t，t，1-t)`     要使`vec(A_1F)_|_vec(AB)`，需`vec(A_1F)·vec(AB)=0`     即`(sqrt(2)t，t，1-t)·(sqrt(2)，1，-1)=0`     即`2t+t-(1-t)=0`，解得`t=1/4`     点`F`的坐标为`(sqrt(2)/4，1/4，3/4)`     `:.vec(A_1F)=(sqrt(2)/4，1/4，3/4)`     设`E`为`AB_1`的中点，则点`E`的坐标为`(0，1/2，1/2)`     `:.vec(EF)=(sqrt(2)/4，-1/4，1/4)`

    又`vec(EF)·vec(AB)=(sqrt(2)/4，-1/4，1/4)·(sqrt(2)，1，-1)=1/2-1/4-1/4=0`

    `:.vec(EF)_|_vec(AB)`

    `:./_A_1FE`即为所求二面角的平面角

    又`cos/_A_1FE=(vec(A_1F)·vec(EF))/(|vec(A_1F)||vec(EF)|)=((sqrt(2)/4，1/4，3/4)·(sqrt(2)/4，-1/4，1/4))/(sqrt(2/16+1/16+9/16)·sqrt(2/16+1/16+1/16))=(1/8-1/16+3/16)/(sqrt(3/4)·1/2)=1/sqrt(3)=sqrt3/3`

    `:.`二面角`A_1-AB-B_1`的余弦值的大小为`arc cos(sqrt3/3)`

    评注:求二面角大小一般首先找出或作出二面角的平面角，解法二用向量求二面角的大小也是一种有效方法．

    求异面直线所成的角常采用“平移转化法”；求解二面角的方法很多，其关键是求其平面角．

    解:(1)`.:PD_|_`平面`ABCD`   

`:.PD_|_BC`，又`BC_|_DC`     `:.BC_|_`平面`PDC`     `.:/_BPC`为`PB`与平面`PCD`所成的角，即`/_BPC=45°`     同理，`/_PBD`即为`PB`与平面`ABD`所成的角     `:./_PBD=30°`     在`Rt△PBC`中，`.:PB=2`     `.:BC=PC=sqrt2`     在`Rt△PBD`中，`/_PBD=30°`     `:.PD=1`，`BD=sqrt3`     在`Rt△BCD`中，`BC=sqrt2`，`BD=sqrt3`     `:.CD=1`

(2)`.:AB"//"CD`     `:.PB`与`CD`所成的角即为`PB`与`AB`所成的角，`/_PBA`即为`PB`与`AB`所成的角     `.:PD_|_`平面`ABCD`，`AD_|_AB`     `:.PA_|_AB`     在`Rt△PAB`中，`AB=CD=1`，`PB=2`     `:./_PBA=60°`     (3)由点`C`向`BD`作垂线，垂足为`E`，由点`E`向`PB`作垂线，垂足为`F`，连结`CF`     `.:PD_|_`平面`ABCD`     `:.PD_|_CE`，又`CE_|_BD`     `:.CE_|_`平面`PBD`     `CF`为平面`PBD`的斜线，`.:EF_|_PB`     `:.PB_|_CF`     `.:/_CFE`为二面角`C-PB-D`的平面角     在`Rt△BCD`中，`BC=sqrt2`，`Dc=1`，`BD=sqrt3`     `:.CE=(BC·CD)/(BD)=sqrt6/3`     在`Rt△PCB`中，`BC=sqrt2`，`PC=sqrt2`，`PB=2`     `:.CF=(BC·CP)/(PB)=1`     `:.sin/_CFE=(CB)/(CF)=sqrt6/3     `:.cos/_CFE=sqrt3/3`     `:.`二面角`C-PB-D`的余弦值为`sqrt3/3`

    评注:“平移法”即把异面直线转化为求两条相交直线所成的角，需要通过引平行直线，化归为平面几何问题来解决．实际解题时，为了便于计算，一般遵循尽量依附原几何体，尽量保证量的传递畅通，因此，中点、中位线等应用非常广泛．

    1、在二面角的一个而内有一点，它到棱的距离是它到另个而的距离的`sqrt2`倍，则这个二面角的大小是(   )
    A.`60°`      B.`45°`      C.`135°`      D.`45°`或`135°`
    2、二面角`alpha-AB-beta`内一点`P`到两个平面`alpha`、`beta`和棱`AB`的距离之比为`1:sqrt2:2`，则这个二面角的度数是(   )
    A.`30°`      B.`45°`      C.`75°`      D.`135°`
    3、已知球`O`的半径是l，`A`、`B`、`C`三点都在球面上，`A`、`B`两点和`A`、`C`两点的球面距离都是`pi/4`，`B`、`C`两点的球面距离是`pi/3`，则二面角`B-OA-C`的大小是(   )

    A.`pi/4`       B.`pi/3`       C.`pi/2`       D.`(2pi)/3`

    4、三棱锥各侧而与底面所成角都是`60°`，且底面三角形三边长分别为3、4、5，那么三棱锥的侧面积是(   )
    A.4       B.18       C.12       D.`4sqrt3`
    5、在二面角的一个面内有一条直线与另一个面成`30°`角，这条直线与二面角的棱成`45°`角，则该二面角的大小为______
    6、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为`2sqrt6`，则侧面与底面所成的二面角等于______
    7、已知一个`60°`的二面角的棱上有两点`A`、`B`，分别在两个面内作垂直于`AB`的线段`AC`、`BD`，若`AB=4`，`AC=6`，`BD=8`，则`CD=`______

    8、在三棱锥`S-ABC`中，`SA_|_`底面`ABC`，`AB_|_BC`，`DE`在平面`SAC`内，`DE`垂直平分`SC`，且分别交`AC`、`SC`于`D`、`E`，又`SA=AB`，`SB=BC`，求以`BD`为棱，`BDE`与`BDC`为面的二面角的度数

    1、在二面角的一个而内有一点，它到棱的距离是它到另个而的距离的`sqrt2`倍，则这个二面角的大小是( D )
    A.`60°`      B.`45°`      C.`135°`      D.`45°`或`135°`
    2、二面角`alpha-AB-beta`内一点`P`到两个平面`alpha`、`beta`和棱`AB`的距离之比为`1:sqrt2:2`，则这个二面角的度数是( C )
    A.`30°`      B.`45°`      C.`75°`      D.`135°`
    3、已知球`O`的半径是l，`A`、`B`、`C`三点都在球面上，`A`、`B`两点和`A`、`C`两点的球面距离都是`pi/4`，`B`、`C`两点的球面距离是`pi/3`，则二面角`B-OA-C`的大小是( C )

    A.`pi/4`       B.`pi/3`       C.`pi/2`       D.`(2pi)/3`

    4、三棱锥各侧而与底面所成角都是`60°`，且底面三角形三边长分别为3、4、5，那么三棱锥的侧面积是( C )
    A.4       B.18       C.12       D.`4sqrt3`
    5、在二面角的一个面内有一条直线与另一个面成`30°`角，这条直线与二面角的棱成`45°`角，则该二面角的大小为______

    答案：`45°`或`135°`
    6、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为`2sqrt6`，则侧面与底面所成的二面角等于______

    答案：`pi/3`
    7、已知一个`60°`的二面角的棱上有两点`A`、`B`，分别在两个面内作垂直于`AB`的线段`AC`、`BD`，若`AB=4`，`AC=6`，`BD=8`，则`CD=`______

    答案：`2sqrt17`

    8、在三棱锥`S-ABC`中，`SA_|_`底面`ABC`，`AB_|_BC`，`DE`在平面`SAC`内，`DE`垂直平分`SC`，且分别交`AC`、`SC`于`D`、`E`，又`SA=AB`，`SB=BC`，求以`BD`为棱，`BDE`与`BDC`为面的二面角的度数

    答案：`pi/3`

    1、如图，在正`△ABC`中，`D`、`E`、`F`分别为各边的中点，`G`、`H`、`I`、`J`分别为`AF`、`AD`、`BE`、`DE`的中点，将`△ABC`沿`DE`、`EF`、`DF`折成三棱锥以后，`GH`与`IJ`所成角的度数为(   )
    A.`90°`      B.`60°`      C.`45°`      D.`0°`

                                                      
    2、将三棱锥`P-ABC`(如图甲)沿三条侧棱剪开后，展开成如下图乙的形状，其中`P_1`、`B`、`P_2`共线，`P_2`、`C`、`P_3`共线，且`P_1P_2=P_2P_3`，则在三棱锥`P-ABC`中，`PA`与`BC`所成角的大小是______

    3、如图，在长方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，`AB=2`，`BC=BB_1=1`，`E`为`D_1C_1`的中点，求二面角`E-BD-C`的正切值

    4、在棱长为`a`的正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，`E`、`F`分别是`BC`、`A_1D_1`的中点

    (1)求证：四边形`B_1EDF`是菱形

    (2)求直线`A_1C`与`DE`所成的角

    (3)求直线`AD`与平面`B_1EDF`所成的角

    1、如图，在正`△ABC`中，`D`、`E`、`F`分别为各边的中点，`G`、`H`、`I`、`J`分别为`AF`、`AD`、`BE`、`DE`的中点，将`△ABC`沿`DE`、`EF`、`DF`折成三棱锥以后，`GH`与`IJ`所成角的度数为( B )
    A.`90°`      B.`60°`      C.`45°`      D.`0°`

                                                      
    2、将三棱锥`P-ABC`(如图甲)沿三条侧棱剪开后，展开成如下图乙的形状，其中`P_1`、`B`、`P_2`共线，`P_2`、`C`、`P_3`共线，且`P_1P_2=P_2P_3`，则在三棱锥`P-ABC`中，`PA`与`BC`所成角的大小是______

    答案：`pi/2`

    3、如图，在长方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，`AB=2`，`BC=BB_1=1`，`E`为`D_1C_1`的中点，求二面角`E-BD-C`的正切值

    答案：`sqrt5`

    4、在棱长为`a`的正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，`E`、`F`分别是`BC`、`A_1D_1`的中点

    (1)求证：四边形`B_1EDF`是菱形

    (2)求直线`A_1C`与`DE`所成的角

    (3)求直线`AD`与平面`B_1EDF`所成的角

    答案：(1)略  (2)`arc cos(sqrt15/15)`  (3)`arc cos(sqrt3/3)`