知识梳理
1、空间向量的有关概念
(1)把具有大小和方向的量叫做向量,其长度叫做空间向量的模.
(2)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.
2、空间向量的加法与数乘向量运算的运算律:
(1)加法交换律:
(2)加法结合律:
(3)数乘分配律:
3、共线向量与共面向量
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量,的充要条件是存在实数,使.
推论:如果为经过已知点平行于已知非零向量的直线,那么,对任一点,点在直线的充要条件是存在实数,满足等式,其中向量叫做直线的方向向量.
(2)共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对,使.
推论:空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序数对,使,或对空间任一定点,有.
4、空间向量基本定理:如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一有序实数对、、,使.由此可知,如果三个向量、、不共面,那么所有空间问量所组成的集合就是,这个集合可看作是由向量、、生成的,把叫做空间的一个基底,、、都叫做基向量.
推论:设是不共面的四点,则对空间任一点,都存在唯一有序实数对,使.
5、两个向量的数量积
(1)已知空间向量,则
叫做向量的数量积,记作,即.
(2)空间向量数量积的性质:
①
②
③
(3)空间向量数量积的运算律:
①
②(交换律)
③(分配律)
6、空间直角坐标系
(1)如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长度为1,则这个基底叫做单位正交基底.
(2)在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,如果中指能指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
(3)如图,为坐标向量(单位向量、正交基底),对于空间任一点,对应一个向量,于是存在唯一的唯一有序实数对、、,使,这个数组叫做点在空间直角坐标系下的坐标,记作.
7、向量的直角坐标运算
设,,
则;
设,,则
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8、在空间直角坐标系中,已知,,
则,
其中表示与两点间的距离,这就是空间两点间的距离公式. |