第九章  直线、平面、简单几何体(B)
 §9.4 空间向量及坐标运算

复习目标 知识梳理 应用举例 实践体验 拓展探究 基础训练 提高训练 学习感悟

    一、复习目标
    理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法、数乘和数量积运算及其性质;理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论;掌握空间向量基本定理及其推论;理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念.

    理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算;掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空间两点间距离公式.

    会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题.

    二、重点难点
    (这里输入)

    三、特别提示
    (1)空间向量的知识和内容是在平面向量知识的基础上产生和推广的,因此,可以利用类比平面向量的方法,解决本节的很多内容.

 

    (2)用向量方法解决立体几何问题时,关键是一个几何问题向量化的转化过程,从建立基向量,到表示相关向量,到应用向量的有关运算,到结论得出,构成一个非常严密的解(证)题过程,这也代表着立体几何的一个发展趋势.

 

    (3)运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时,一般步骤为:

    ①建立恰当的空间直角坐标系(例如:底面是矩形的直四棱柱,以底面其中一个顶点为原点建立空间直角坐标系;底面是菱形的直四棱柱,往往以底面对角线交点为原点建立空间直角坐标系);

    ②求出相关点的坐标;

    ③写出向量的坐标;

    ④结合公式进行论证,计算;

    ⑤转化为几何结论.

    建立空间直角坐标系,必须牢牢抓住相交于同—点的两两垂直的三条直线,要在题目中找出或构造出这样的三条直线,因此,要充分利用题目中所给的垂直关系(即线线垂直、线面垂直、面面垂直),同时要注意,所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系.

 

    (4)借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算.

    ①平行问题向量共线,注意重合;

    ②垂直问题向量的数量积为零,注意零向量;

    ③距离问题向量的模,注意向量的垂直;

    ④求角问题向量的夹角,注意角范围的统一.

    知识梳理

    1、空间向量的有关概念

    (1)把具有大小和方向的量叫做向量,其长度叫做空间向量的模.

    (2)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.

 

    2、空间向量的加法与数乘向量运算的运算律:
    (1)加法交换律:a+b=b+a
    (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

    (3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb

 

    3、共线向量与共面向量
    (1)共线向量定理:对空间任意两个向量ab(b0)a//b的充要条件是存在实数λ,使a=λb

    推论:如果l为经过已知点A平行于已知非零向量a的直线,那么,对任一点O,点P在直线l的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+ta,其中向量a叫做直线l的方向向量.

 

    (2)共面向量定理:如果两个向量ab不共线,则向量p与向量ab共面的充要条件是存在实数对xy,使p=xa+yb

    推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序数对xy,使MP=xMA+yMB,或对空间任一定点O,有OP=OM+xMA+yMB

 

    4、空间向量基本定理:如果三个向量abc不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一有序实数对xyz,使p=xa+yb+zc.由此可知,如果三个向量abc不共面,那么所有空间问量所组成的集合就是{p|p=xa+yb+zcxyzR},这个集合可看作是由向量abc生成的,把{abc}叫做空间的一个基底,abc都叫做基向量.

    推论:设OABC是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一有序实数对xyz,使OP=xOA+yOB+zOC

 

    5、两个向量的数量积
    (1)已知空间向量ab,则|a||b|cos<ab> 叫做向量ab的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos<ab>

 

    (2)空间向量数量积的性质:

    ①a·e=|a|cos<ae> 

    ②aba·b=0 

    ③|a|2=a·a

 

    (3)空间向量数量积的运算律:

    ①(λa)·b=λ(a·b) 

    ②a·b=b·a(交换律)

    ③a·(b+c)=a·b+a·c(分配律)

 

    6、空间直角坐标系

    (1)如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长度为1,则这个基底叫做单位正交基底.

 

    (2)在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指能指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.

 

    (3)如图,ijk为坐标向量(单位向量、正交基底),对于空间任一点A,对应一个向量OA,于是存在唯一的唯一有序实数对xyz,使OA=xi+yj+zk,这个数组(xyz)叫做A点在空间直角坐标系下的坐标,记作A(xyz).   

   

    7、向量的直角坐标运算

    设a=(a1a2a3)b=(b1b2b3)

    则a+b=(a1+b1a2+b2a3+b3)

    a-b=(a1-b1a2-b2a3-b3)

    λa=(λa1λa2λa3)

    a·b=a1b1+a2b2+a3b3

    a//ba1=λb1a2=λb2a3=λb3(λR)

    aba1b1+a2b2+a3b3=0

    设A(x1y1z1)B(x2y2z2),则

    AB=OB-OA=(x2y2z2)-(x1y1z1)

    =(x2-x1y2-y1z2-z1)

   

    8、在空间直角坐标系中,已知A(x1y1z1)B(x2y2z2)

    则dAB=|AB|=AB·AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

    其中dAB表示AB两点间的距离,这就是空间两点间的距离公式.

    应用举例
    一、应用特点
    1、运用空间向量的坐标运算解决空间中的垂直问题
    2、运用向量平行的充要条件解决立体几何中的平行问题
    3、运用向量的坐标运算解决立体几何中的角和距离问题

    二、案例示范
    回味相关知识与方法,寻找解题办法,若有困难,可以参考“提示”,还有困难,可以参考“解答”或倾听老师的分析示范

    1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1P为底面对角线BD上一点且BP=3PDQ为棱DD1的中点,试证:PQ平面A1QC1

                                                      

    提示 示范  
   

    2、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PDABCDPD=DCEPC的中点,作EFPBPBF      

    (1)求证:PA//平面EDB
    (2)求证:PB平面EFD

    (3)求二面角C-PB-D的大小

    提示 示范  

   

    3、(06·湖北)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP=m
    (1)试确定m,使直线AP与平面BDDB1所成角的正切值为32
    (2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q,使得对任意的mD1Q在平面APD1上的射影垂直于AP,并证明你的结论.

                                                      

    提示 示范  

    实践体验
    在实践中提高能力,在体验中反思感悟,力求独立,力求提高

    1、正四棱柱ABCD-A1B1C1D1AB=1AA1=2,点ECC1的中点,点FBD1的中点

(1)求证:EFBD1CC1的公垂线

(2)求点D1到平面BDE的距离

 
    提示 示范  

   

    2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF分别是A1D1A1C1的中点,求      

    (1)异面直线AECF所成角的余弦值;
    (2)二面角C-AE-F的余弦值的大小
    提示 示范  

    拓展探究
    1、如图,在棱长为1的正方形ABCD-A1B1C1D1中,EF分别是D1DBD的中点,G在棱CD上,且CG=14CD,应用空间向量的运算办法解决下列问题

    (1)求证:EFB1C

    (2)求EFC1G所成的角的余弦值

 

    提示 示范  

 

    基础训练
    参考答案

 
    提高训练
    参考答案

    学习感悟
    1、在讨论向量共线或共面时,必须注意零向量与任意向量平行,并且我们所说的向量可以平移,因而不能完全按照它们所在直线的平行性共面关系来确定向量关系.

 

    2、共线与共面向量不具有传递性.

 

    3、应用向量基本定理和向量数量积可以用于解决向量相等、垂直、夹角等问题.

    用向量解决立体几何的问题,关键是要找到几何问题的向量表示,然后将题设条件向量化,用已知向量表示出未知向量,从而转化为已知向量间的问题.根据空间向量基本定理,如果已知向量中有三个不共面的,则可以由此构成一个空间基底,其它任何向量都可以用基向量唯一表示出来,从而进行运算 .线共点、线共面、线线垂直、两异面直线所成的角、两点间的距离等等,都可由此解决.

 

    4、在应用向量数量积求异面直线所成角或线面角、二面角等问题时应结合实际,合理取舍和转化,避免出现所求值与角的范围不一致的现象.

 

    5、(1)在空间图形中,如果线段较多,关系也较为复杂(如平行、垂直、角和距离等均有涉及),此时如何入手,是用传统方法解决,还是用向量方法解决,一般较难作出判断,而且在较为综合的问题中,只用某一种方法,有时也难以奏效,常常需要多种方法灵活使用,合理结合,才能达到理想效果.

    (2)图形中如果存在三条两两垂直的线段,则可考虑以它们所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设法确定点、向量的坐标,然后通过向量的坐标,利用向量坐标运算解决有关问题 .解题中应注意逻辑推导和向量运算的有机结合.

    (3)利用向量的坐标解决立体几何中的平行、垂直、求解、求距离等问题,关键是建立正确的空间直角坐标系,难点是正确表示已知点的坐标;对空间任意一点A,求其坐标的一般方法:过Az轴的平行线交平面xOyB,过B分别作xy轴的平行线,分别交yx轴于CD,则由ODOCBA的长度和方向便可求得点A的坐标.

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