第三章  数列
 §3.5 数列的综合应用

复习目标 知识梳理 应用举例 实践体验 拓展探究 基础训练 提高训练 学习感悟
    一、复习目标
    理解以社会热点问题立意的数列应用题的建模方法,能理解数列问题的实际意义,把有关的应用问题准确地转化为相应的数列问题,并用数列知识方法解决.

    二、重点难点
    重点:运用数列建模的方法与步骤解决实际问题.

    难点:理解数列建模的思想与方法.

    三、特别提示
    (1)掌握数列的基础知识,是顺利解决数列综合问题的关键和基础.
    (2)数列的渗透能力很强,它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系,优化组合.无形中加大了综合力度,所以,解决此类题目仅靠掌握一点单科知识,无异于杯水车薪,必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所理解,深刻领悟它在解题中的重大作用,常用的数学思想方法主要有“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等.
    (3)数列的实际应用题常与现实生活和生产科学中的具体事件相联系,建立数学模型是解决这类问题的核心,在试题中常用的数学模型有:①构造等差、等比数列的模型,然后再利用数列的通项公式和求和公式求解;②通过归纳得到结论,再用数列知识求解.
    (4)在解决数列知识与其他章节知识的综合问题时,应注意思维角度与解题途径的选择,提高数学变形转换、推理等综合能力.

    知识梳理
  1、数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一;学好数列可以为学习高等数学打好基础;数列的综合应用主要是以数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何以及数列在实际生活中的应用为主.
  2、等差、等比数列的应用题常见于:产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题,求利率、分期付款、增长率等问题也常归结为数列建模问题.
    3、将实际问题转化为数列问题时应注意:
    (1)分清是等差数列还是等比数列;
    (2)分清是求an还是求Sn,特别要准确地确定项数n
    4、解数列应用题的一般思路:
    (1)审题分析,明确哪些量组成等差数列,哪些量组成等比数列,哪些量给出的是递推关系;
  (2)如是等差数列、等比数列,则应明确a1anmqdSn,这些量中,已知哪几个,要求哪几个;如是递推数列,应明确是Sn还是an的递推关系,来求哪些量;
    (3)应用相关的数列知识解答,注意检验结果要适合实际问题的需要.

    应用举例
    一、应用特点
    1、等差数列应用题
    2、等比数列应用题
    3、数列的综合应用

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法,寻找解题办法,若有困难,可以参考“提示”,还有困难,可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、甲、乙物体分别从相距7O米的两处同时相向运动.甲第1分钟走2米,以后每分钟比前1分钟多走1米,乙每分钟走5米.
    (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
  (2)如果甲、乙到达对方起点立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1米,乙继续每分钟走5米,那么开始运动几分钟后第二次相遇?

    提示 示范  

    2、小王年初向建设银行贷款2万元用于购房,商定年利率为1O%,按复利计算(即本年的利息计人次年的本金生息),若这笔贷款分15次等额归还,每年一次,15年还清,并从贷款后次年开始归还,问每年应还多少钱?.
    提示 示范  

    3、已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=12Sn+a.又a1=2a2=1
    (1)求a的值;
    (2)求Sn
    (3)是否存在正整数mn,使Sn-mSn+1-m<12成立?请说明理由.
    提示 示范  

    实践体验
    (在实践中提高能力,在体验中反思感悟,力求独立,力求提高)

    1、在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若SmSm+2Sm+1成 等差数列,则amam+2am+1成等差数列.
    (1)写出这个命题的逆命题;
    (2)判断逆命题是否为真,并给出证明.
    提示 示范  

    2、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=12.
    (1)求证:{1Sn}是等差数列;
    (2)求an的表达式;
    (3)若bn=2(1-n)an(n2)时,求证:b22+b32++bn2<1.
    提示 示范  

    拓展探究
    已知正项数列{an}中,a1=6,点An(anan+1)在抛物线y2=x+1上;数列{bn}中,点Bn(nbn)在过点(0,1)且以(1,2)为方向向量的直线上.
    (1)求数列{an}{bn}的通项公式.
  (2)若f(n)={(an,n),(bnn)问是否存在kN,使f(k+27)=4f(k)成立?若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.
  (3)对任意正整数n,不等式an+1(1+1b1)(1+1b2)(1+1bn)-ann-2+an0成立,求正数a的取值范围
    提示 示范  

 

    基础训练
    参考答案

 
    提高训 练
    参考答案

    学习感悟
    1、数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型.
    2、在试题中常用的数学模型有

    ①构造等差、等比数列的模型,然后再去应用数列的通项公式和求和公式求解

    ②用无穷递缩等比数列的求和公式求解

    ③通过归纳得到结论,然后用数列知识求解.
    3、建立数学模型的一般方法步骤是:
    (1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求:
    ①明确问题属于哪类应用问题
    ②弄清题目中的主要已知事项
    ③明确所求的结论是什么
  (2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量或适当建立坐标系,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.
  (3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,据题意列出满足题意的数学关系式(如函数关系式或方
程或不等式).
  4、建立数列模型时,应明确是等差数列模型还是等比数列模型,还是递推数列模型?是求an还是求Snn是多少?

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