第三章 数列 §3.5 数列的综合应用
二、重点难点 重点:运用数列建模的方法与步骤解决实际问题.
难点:理解数列建模的思想与方法.
三、特别提示 (1)掌握数列的基础知识,是顺利解决数列综合问题的关键和基础. (2)数列的渗透能力很强,它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系,优化组合.无形中加大了综合力度,所以,解决此类题目仅靠掌握一点单科知识,无异于杯水车薪,必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所理解,深刻领悟它在解题中的重大作用,常用的数学思想方法主要有“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等. (3)数列的实际应用题常与现实生活和生产科学中的具体事件相联系,建立数学模型是解决这类问题的核心,在试题中常用的数学模型有:①构造等差、等比数列的模型,然后再利用数列的通项公式和求和公式求解;②通过归纳得到结论,再用数列知识求解. (4)在解决数列知识与其他章节知识的综合问题时,应注意思维角度与解题途径的选择,提高数学变形转换、推理等综合能力.
应用举例 一、应用特点 1、等差数列应用题 2、等比数列应用题 3、数列的综合应用
二、案例示范 (回味相关知识与方法,寻找解题办法,若有困难,可以参考“提示”,还有困难,可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)
1、甲、乙物体分别从相距7O米的两处同时相向运动.甲第1分钟走2米,以后每分钟比前1分钟多走1米,乙每分钟走5米. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1米,乙继续每分钟走5米,那么开始运动几分钟后第二次相遇?
评注:对等差数列与方程的综合应用题,应准确地构建数列模型,利用方程加以解决.
评注:这里必须注意,如果每年按20000×1.115≈5569.66元还贷,那就多付了很多,这里正是忽略了每次还款后这笔款项的复利息,而商家常是利用这些数学知识来获取更多的盈利.
评注:(内容)
实践体验 (在实践中提高能力,在体验中反思感悟,力求独立,力求提高)
1、在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成 等差数列,则am,am+2,am+1成等差数列. (1)写出这个命题的逆命题; (2)判断逆命题是否为真,并给出证明.
评注:(1)对公比进行分类是本题解题的要害所在,问题 好在分类,活在逆命题亦假亦真二者兼顾,可谓是一道以知识 呈现、能力立意的新颖试题. (2)解决等差数列与等比数列综合问题的关键是综合运用 等差数列和等比数列的有关知识来解题,并注意用较少的字母(即数列的基本量a1、q或a1、d)来表示数列中的所有的项,还应 注意等差数列与等比数列之间的相互转化,一般地,若{an}为等差数列,则{an}(a>O且a≠1)为等比数列;若{an}为正项等比数列,则{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列.
(3)证明:由(2)知,bn=2(1-n)an=2(1-n)⋅[-12n(n-1)]=1n, ∴b22+b32+…+bn2=122+132+…+1n2<11×2+12×3+…+1(n-1)n=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1-1n)=1-1n<1.
评注:(1)数列与不等式的综合是近几年高考命题的一个新特点,对这类问题有的可用证明不等式的一般方法如比较法、基本不等式法、放缩法等处理;有的需要利用递推公式、放缩构造一个递推不等式再应用不等式使问题获证;有的可利用数学归纳法证明;有的则需先求通项,再利用通项求解. (2)本题求解当中用到Sn与an之间的关系式:an={(S1,n=1),(Sn-Sn-1,n≥2):}和放缩法进行了求解.
评注:(1)这是一道数列与解析几何联系起来的综合性问题,问题一利用抛物线的方程和直线的方程得到两个数列;问题二利用了函数和方程的思想解决;问题三为恒成立问题,实质转化为数列的单调性问题进而求得了数列的最小值. (2)在解决数列知识与其他章节知识的综合问题时,要注意思维角度与解题途径的选择,提高数学变形转换、推理等综合能力.
学习感悟 1、数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型. 2、在试题中常用的数学模型有
①构造等差、等比数列的模型,然后再去应用数列的通项公式和求和公式求解
②用无穷递缩等比数列的求和公式求解
③通过归纳得到结论,然后用数列知识求解. 3、建立数学模型的一般方法步骤是: (1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求: ①明确问题属于哪类应用问题 ②弄清题目中的主要已知事项 ③明确所求的结论是什么 (2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量或适当建立坐标系,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达. (3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,据题意列出满足题意的数学关系式(如函数关系式或方 程或不等式). 4、建立数列模型时,应明确是等差数列模型还是等比数列模型,还是递推数列模型?是求an还是求Sn,n是多少?
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