三、解答题
(18) (本小题满分12分)
已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图
所示,记二面角的大小为.
( = 1 \* ROMAN I) 证明平面;
( = 2 \* ROMAN II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是
否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.
本小题主要考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力和思
维能力.满分12分。
(Ⅰ)证明:E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点.
∴EB∥FD.且EB=FD.
∴四边形EBFD是平行四边形.
∴BF∥ED.
∵ED平面AED.而BF平面AED.
∴BF∥平面AED ……4分
(Ⅱ)解法一:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.
过点A作AG⊥平面BCDE.垂足为G,连结GC、GD.
∵△ACD为正三角形.
∴AC=AD.
∴GC=GD.
∴G在CD的垂直平分线上.
又∵EF是CD的垂直平分线.
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.
过G作GH⊥ED.垂足为H,连结AH,则AH⊥DE.
∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ.
设原正方形ABCD的边长为2a,连结AF.
在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a.
∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.
∴AG=
在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE.
∴AH=
∴GH=
∴cosθ=
解法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.
连结AF,在平面AEF内过点A作AG′⊥EF.垂足为G′.
∵△ACD为正三角形,F为CD的中点.
∴AF⊥CD.
又∵EF⊥CD.
∴CD⊥平面AEF.
∵AG′平面AEF.
∴CD⊥AG′.
又∵AG′⊥EF,且CD∩EF=F,CD平面BCDE,EF平面BCDE.
∴AG′⊥平面BCDE.
∴G′为A在平面BCDE内的射影G.
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.
过G作GH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE.
∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ.
设原正方形ABCD的边长为2a.
在折后图的△AEF中,AF=EF=2AE=2a,
∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF,
∴AG=
在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE,
∴AH=
∴GH=
∴cosθ=
解法三:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.
连结AF,在平面AEF内过点A作AG′⊥EF,垂足为G′,
∵△ACD为正三角形,F为CD中点,
∴AF⊥CD.
又∵EF⊥CD,
∴CD⊥平面AEF.
∵CD平面BCDE.
∴平面AEF⊥平面BCDE.
又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF,
∴AG′⊥平面BCDE,即G′为A在平面BCDE内的射影G,
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.
过G作GH⊥DE,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE.
∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ.
设原正方形ABCD的边长为2a.
在折后图的△AEF中,AF=EF=2AE=2a,
∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.
∴AG=
在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE.
∴AH=
∴GH=
∴cosθ=
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