解答题

17．（本小题满分12分）

设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，x∈R.

（Ⅰ）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；

（Ⅱ）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|<)平移后得到函数

y=f(x)的图象，求实数m、n的值.

  解答

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲

能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中

随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.

（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

解答

19．（本小题满分12分）

在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，

SA=SC=2，M为AB的中点.

 （Ⅰ）证明：AC⊥SB；             

 （Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；

 （Ⅲ）求点B到平面SMN的距离.

              解答

20．（本小题满分12分）

某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能

力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利

润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，

预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润

为500(1+)万元（n为正整数）.

（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为

A_n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B_n万元（须扣除技术改造资金），

求A_n、B_n的表达式；

（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的

累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

  解答

21．（本小题满分12分）

如图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P并与抛物线C在

点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q.

（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；

（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，

并求点M到x轴的最短距离.

            解答

22．（本小题满分14分）

     已知f(x)=在区间[－1，1]上是增函数.

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x₁、x₂.试问：

是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]

恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

 解答