解答题

16)(本小题满分14分)

    如图,在正三棱柱中,AB3M的中点,

   PBC上一点,且

      由
P沿棱柱侧面经过棱
M的最短路线长为,设这条最短路线与

 的交点为N, 求:

    I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长

    IIPCNC的长

    III)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小

(用反三角函数表示)

 

    本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识,考查空间想象

能力、逻辑思维能力和运算 能力。满分14分。

    解:(I)正三棱柱的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,

其对角线长为

    II)如图1,将侧面绕棱旋转使其与侧成在同一平面上,

P运动到点的位置, 连接,则就是由点P沿棱柱侧面经过棱

M的最短路线

   

 

 

 

 

 

,则,在中,由勾股定理得

    求得

   

    III)如图2,连结,则就是平面NMP与平面ABC的交线,

H,又平面ABC,连 结CH,由三垂线定理得,

   

 

 

 

 

 

就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角(锐角)

    中,

   

    中,

    故平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为

 

              

 

 

                

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