三、解答题
22.(本题15分)已知.
(I)若,求方程
的解;
(II)若关于的方程
在
上有两个解
,求
的取值范围,
并证明.
本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识,以及综合运用
所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力.满分15分.
(Ⅰ)解:(1)当k=2时,
① 当时,
≥1或
≤-1时,方程化为2
解得,因为
,舍去,
所以.
②当时,-1<
<1时,方程化为
解得,
由①②得当k=2时,方程的解所以
或
.
(II)解:不妨设0<x1<x2<2,
因为
所以在(0,1]是单调函数,故
=0在(0,1]上至多一个解,
若1<x1<x2<2,则x1x2=-<0,故不符题意,因此0<x1≤1<x2<2.
由得
, 所以
;
由得
, 所以
;
故当时,方程
在(0,2)上有两个解.
因为0<x1≤1<x2<2,所以,
=0
消去k 得
即,
因为x2<2,所以.
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