三、解答题
22.(本小题满分14分)
设椭圆的左、右焦点分别为
是椭圆上的一点,
,
原点到直线
的距离为
.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)设为椭圆上的两个动点,
,过原点
作直线
的垂线
,
垂足为,求点
的轨迹方程.
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识,
考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.满分14分.
(Ⅰ)证法一:由题设及
,
,不妨设点
,其中
.
由于点在椭圆上,有
,即
.
解得,从而得到
.
直线的方程为
,整理得
.
由题设,原点到直线
的距离为
,即
,
将代入上式并化简得
,即
.
证法二:同证法一,得到点的坐标为
.
过点作
,垂足为
,易知
,故
.
由椭圆定义得
,又
,
所以,
解得,而
,得
,即
.
(Ⅱ)解法一:设点的坐标为
.
当时,由
知,直线
的斜率为
,所以直线
的方程
为,或
,其中
,
.
点的坐标满足方程组
将①式代入②式,得,
整理得,
于是,
.
由①式得
.
由知
.将③式和④式代入得
,
.
将代入上式,整理得
.
当时,直线
的方程为
,
的坐标满足方程
组
所以,
.
由知
,即
,
解得.
这时,点的坐标仍满足
.
综上,点的轨迹方程为
.
解法二:设点的坐标为
,直线
的方程为
,由
,
垂足为,可知直线
的方程为
.
记(显然
),点
的坐标满足方程
组
由①式得. ③
由②式得. ④
将③式代入④式得.
整理得,
于是. ⑤
由①式得. ⑥
由②式得. ⑦
将⑥式代入⑦式得,
整理得,
于是. ⑧
由知
.将⑤式和⑧式代入得
,
.
将代入上式,得
.
所以,点的轨迹方程为
.
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