三、解答题

20．（本小题满分12分）

右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．

已知，，，，．

（1）设点是的中点，证明：平面；

（2）求与平面所成的角的大小；

（3）求此几何体的体积．

解法一：

（1）证明：作交于，连．

则，

因为是的中点，

所以．

则是平行四边形，因此有，

平面，且平面

则面．

（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，，

作于，

因为平面平面，则面．

连结，则就是与面所成的角．

因为，，所以．

与面所成的角为．

（3）因为，所以．

．

．

所求几何体的体积为．

解法二：

（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，

因为是的中点，所以，

，

易知，是平面的一个法向量．

由且平面知平面．

（2）设与面所成的角为．

求得，．

设是平面的一个法向量，则由得，

取得：．

又因为

所以，，则．

所以与面所成的角为．

（3）同解法一