三、解答题
22.(本小题满分14分)
设正整数数列满足:
,且对于任何
,有
.
(1)求,
;
(3)求数列的通项
.
解:(1)据条件得
①
当时,由
,即有
,
解得.因为
为正整数,故
.
当时,由
,
解得,所以
.
(2)方法一:由,
,
,猜想:
.
下面用数学归纳法证明.
1当
,
时,由(1)知
均成立;
2假设
成立,则
,则
时
由①得
因为时,
,所以
.
,所以
.
又,所以
.
故,即
时,
成立.
由1,2
知,对任意
,
.
(2)方法二:
由,
,
,猜想:
.
下面用数学归纳法证明.
1当
,
时,由(1)知
均成立;
2假设
成立,则
,则
时
由①得
即 ②
由②左式,得,即
,因为两端为整数,
则.于是
③
又由②右式,.
则.
因为两端为正整数,则,
所以.
又因时,
为正整数,则
④
据③④,即
时,
成立.
由1,2
知,对任意
,
.
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