三、解答题
19.(本小题满分12分)
如图4,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点和居民区
的公路,
点所在的山坡面与山脚所在水平面
所成的二面角为
(
),且
,
点到平面
的距离
(km).沿山脚原有一段笔直的公路
可供利用.
从点到山脚修路的造价为
万元/km,原有公路改建费用为
万元/km.当山坡上
公路长度为km(
)时,其造价为
万元.已知
,
,
,
.
(I)在上求一点
,使沿折线
修建公路的总造价最小;
(II)
对于(I)中得到的点,在
上求一点
,使沿折线
修建公路的
总造价最小.
(III)在上是否存在两个不同的点
,
,使沿折线
修建公路的总造
价小于(II)中得到的最小总造价,证明你的结论.
解:(I)如图,,
,
,
由三垂线定理逆定理知,,所以
是
山坡与
所成二面角的平面角,则
,
.
设,
.则
.
记总造价为万元,
据题设有
当,即
时,总造价
最小.
(II)设,
,总造价为
万元,根据题设有
.
则,由
,得
.
当时,
,
在
内是减函数;
当时,
,
在
内是增函数.
故当,即
(km)时总造价
最小,且最小总造价为
万元.
(III)解法一:不存在这样的点,
.
事实上,在上任取不同的两点
,
.为使总造价最小,
显然不能位
于 与
之间.故可设
位于
与
之间,且
=
,
,
,总造价为
万元,则
.
类似于(I)、(II)讨论知,,
,当且仅当
,
同时成立时,上述两个不等式等号同时成立,此时
,
,
取得最小值
,点
分别与点
重合,所以不存在这样的点
,
使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价.
解法二:同解法一得
.
当且仅当且
,即
同时成立时,
取得最小值
,以上同解法一.
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