三、解答题
21.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)
如题21图倾斜角为的直线经过抛物线
的焦点
,
且与抛物线交于两点.
(Ⅰ)求抛物线的焦点的坐标及准线
的方程;
(Ⅱ)若为锐角,作线段
的垂直平分线
交
轴于点
,证明
为定值,
并求此定值.
(I)解:设抛物线的标准方程为,则
,从而
.
因此焦点
的坐标为
,
又准线方程的一般式为.
从而所求准线的方程为.
(II)解法一:如答21图作,
,
垂足分别为,则由抛物线的定义知
,
.
记的横坐标分别为
,
,
则
,解得
.
类似地有,解得
.
记直线与
的交点为
,则
.
所以.
故.
解法二:设,
,直线
的斜率为
,则直线方程为
.
将此式代入得
,故
.
记直线与
的交点为
,则
,
,
故直线的方程为
,
令,得点
的横坐标
,故
.
从而为定值.
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