三、解答题

20．（本小题满分12分）

已知正项数列，其前n项和S_n满足10S_n=＋5a_n＋6，

且a₁，a₃，a₁₅成等比数列，求数列的通项a_n.

解：∵10S_n=a_n²+5a_n+6,  ①   

   ∴10a₁=a₁²+5a₁+6,  解之得a₁=2或a₁=3.

  又  10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6  (n≥2)，  ②

由①－②得    10a_n=(a_n²－a _n－1²)+5(a_n－a_n－1), 

 即（a_n+a_n－1）(a_n－a_n－1－5)=0.

∵a_n+a_n－1＞0_,       ∴a_n－a_n－1=5  (n≥2)_.

当a₁₌3时,a₂=13_，a_n=73,a₁，a₂，a_n不成等比数列，a₁≠3_.

当a₁=2时,a₂＝12_，a_n=72，有a₃²=a₁a₂,     

 ∴a₁=2,  ∴a_n=5n－3.