三、解答题
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,
第3小题满分8分.
已知函数y=x+有如下性质,如果常数a>0,那么该函数在
]上是
减函数,在[,+∞)上是增函数.
(1)如果函数y=x+在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,
求实常数b的值;
(2)设常数c∈[1,4],求函数f(x)=x+(1≤x≤2)的最大值和最小值;
(3)当n是正整数时,研究函数g(x)=xn-(c>0)的单调性,并说明理由.
解(1)
由已知得=4,
∴b=4.
(2) ∵c∈[1,4],
∴∈[1,2],
于是,当x=时,
函数f(x)=x+
取得最小值2
.
f(1)-f(2)=,
当1≤c≤2时,
函数f(x)的最大值是f(2)=2+;
当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.
(3)设0<x1<x2,g(x2)-g(x1)=.
当<x1<x2时,
g(x2)>g(x1), 函数g(x)在[
,+∞)上是增函数;
当0<x1<x2<时,
g(x2)>g(x1), 函数g(x)在(0,
]上是减函数.
当n是奇数时,g(x)是奇函数,
函数g(x)
在(-∞,-]上是增函数,
在[-
,0)上是减函数.
当n是偶数时, g(x)是偶函数,
函数g(x)在(-∞,-]上是减函数,
在[-
,0)上是增函数.
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