三、解答题
(22)(本小题满分14分)
已知数列{}中,
在直线y=x上,其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令
(Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设的前n项和。是否存在实数
,使得
数列为等差数列?若存在,试求出
;若不存在,则说明理由。
解:
(Ⅰ)由已知得
a1=,2an+1=an+n,
∵a2=,a2-a1-1=
-
-1=-
,
又bn=an+1-an-1,
∴bn+1=an+2-an+1-1,
∴.
∴{bn}是以-为首项,以
为公比的等比数列.
(Ⅱ)由(I)知,bn=-×
n-1=-
×
,
∴an+1-an-1=-×
,
∴a2-a1-1=-×
,
a3-a2-1=-×
,
……
an-an-1-1=-×
,
将以上各式相加得:
an-a1-(n-1)=-,
∴an=a1+n-1-×
+(n-1)-
(1-
)=
+n-2.
∴an=+n-2.
(Ⅲ)解法一:
存在λ=2,使数列是等差数列.
∵Sn=a1+a2+…+an=3+(1+2+…+n)-2n
=3×-2n
=3+3.
Tn=b1+b2+…+bn=.
数列是等差数列的充要条件是
=An+B,(A、B是常数)
即Sn+λTn=An2+Bn,
又Sn+λTn=-+3+λ(-
)
=+3(1-
)(1-
)
∴当且仅当1-=0,即λ=2时,数列
为等差数列.
解法二:
存在λ=2,使数列是等差数列.
由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,an+2bn=n-2
∴Sn+2Tn=-2n
∴
=Tn
又TN=b1+b2+…+bn=
∴
∴当且仅当λ=2时,数列是等差数列.
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