三、解答题
21.(本小题满分12分)
已知函数,
,
其中,设
为
的极小值点,
为
的极值点,
,
并且,将点
依次记为
.
(1)求的值;
(2)若四边形为梯形且面积为1,求
的值.
本小题考查多项式函数的导数,函数极值的判定,二次函数与二次方程等基础
知识的综合运用,考查用数形结合的数学思想分析问题,解决问题的能力.满分12分.
(Ⅰ)解:f′(x)=ax2+2(a+d)x+a+2d=(x+1)(ax+a+2d).
令f′(x)=0,由a≠0得x=-1或x=-1-.
∵a>0,d>0.
∴-1-<-1.
当-1-<x<-1时,f′(x)<0,
当x>-1时,f′(x)>0.
所以f(x)在x=-1处取得极小值,即
x0=-1.
(Ⅱ)解:g(x)=ax2+(2a+4d)x+a+4d,
∵a>0,x∈R,
∴g(x)在x=-=-1-
处取得极小值,即
x1=-1-.
由g(x)=0,即(ax+a+4d)(x+1)=0,
∵a>0,d>0,x2<x3,
∴x2=-1-,x3=-1.
∵f(x0)=f(-1)=-a+(a+d)-(a+2d)+d=-
a,
g(x1)=g(-1-)=a(-1-
)2+(2a+4d)(-1-
)+a+4d=-
,
∴A(-1,-a),B(-1-
,-
),C(-1-
,0),D(-1,0).
由四边形ABCD是梯形及BC与AD不平行,得AB∥CD.
∴-,即
a2=12d2.
由四边形ABCD的面积为1,得(|AB|+|CD|)·|AD|=1,即
(
)·
=1,得
d=1.
从而a2=12,得
a=2,
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