三、解答题

17．(本小题满分12分)

    已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-与x=1时都取得极值．

    (1)求a、b的值及函数f(x)的单调区间；

    (2)若对x∈［-1，2］，不等式f(x)＜c²恒成立，求c的取值范围．

17.解：

  （1）f(x)=x³+ax²+bx+c,    f′(x)=3x²+2ax+b,

      由f′(-)=a+b=0,    f′(1)=3+2a+b=0,得

      a=-，b=-2，

f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

所以函数f（x）的递增区间为（-∞，-）与（1，+∞）；递减区间为（-，1）.

（2）f（x）=x³-x²-2x+c

x∈［-1，2］，当x=-时，f（x）=+c为极大值，

而f（2）=2+c，则f（2）=2+c为最大值.

要使f（x）＜c²（x∈［-1，2］）恒成立，只须c²＞f（2）=2+c，

解得c＜-1或c＞2..