三、解答题
(20)(本小题满分16分,第一小问4分,第二小问满分6分,第三小问满分6分)
设a为实数,设函数的最大值为g(a)。
(Ⅰ)设t=,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t)
(Ⅱ)求g(a)
(Ⅲ)试求满足的所有实数a
本小题主要考查函数、方程等基本知识,考查分类讨论的数学思想方法
和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分16分.
解:(Ⅰ)∵t=
∴要使t有意义,必须1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1.
∵t2=2+2t≥0,
①
∴t的取值范围是[].
由①得
∴m(t)=a
(Ⅱ)由题意知g(a)即为函数m(t)=at2+t-a,t∈[
,2]的最大值.
注意到直线t=-是抛物线m(t)=
at2+t-a的对称轴,分以下几种情况讨论.
(1)当a>0时,函数y=m(t),t∈[,2]的图像是开口向上的抛物线
的一段,由t=-知m(t)在[
,2]上单调递增,
∴g(a)=m(2)=a+2.
(2)当a=0时,m(t)=t,t∈[,2],∴g(a)=2.
(3)当a<0时,函数y=m(t),t∈[,2]的图像是开口向下的抛物线的一段.
若t=-],即a≤-
,则g(a)=m(
)=
.
若t=-],即a∈(-
,-
),则g(a)=m(-
)=-a-
若t=-),即a∈(-
,0),则g(a)=m(2)=a+2.
综上有
g(a)=
(Ⅲ)解法一:
情形1:当a<-2时,此时g(a)=
,g(
)=
+2.
由2+=
解得a=-1-
,与a<-2矛盾.
情形2:当-2≤a<-时,-
<
,此时g(a)=
,
g()=-
-
,由
=-
-
解得a=-
,与a<-
矛盾.
情形3:当-≤a≤-
时,-
≤
≤-
,此时g(a)=
=g(
),
所以-≤a≤-
.
情形4:当-<a≤-
时,-2≤
<-
,此时g(a)=-a-
g()=
,由-a-
解得a=-
,与a>-
矛盾.
情形5:当-<a<0时,
<-2,此时g(a)=a+2,g(
)=
,
由a+2=解得a=
-2,与a>-
矛盾.
情形6:当a>0时,>0,此时g(a)=a+2,g(
)=
+2,
由a+2=+2解得a=±1,由a>0知a=1.
综上知,满足g(a)=g()的所有实数a为:
-≤a≤-
或a=1.
解法二:
当a>-时,g(a)=a+2>
当-<a≤-
时,-a∈[
-
],所以-a≠-
g(a)=-a->2
因此,当a>-
时,g(a)>
.
当a>0时,>0,由g(a)=g(
)知a+2=
+2解得a=1.
当a<0时,a·=1,因此a≤-1或
≤-1,从而g(a)=
或g(
)=
.
要使g(a)=g(),必须有a≤-
,
≤-
,即-
≤a≤-
.
此时g(a)==g(
).
综上知,满足g(a)=g()的所有实数a为:
-≤a≤-
或a=1.
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