三、解答题

19．(本小题满分14分)

已知函数f(x)=x-sinx，数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，a_n+1=f(a_n)，n=1，2，3，…．

证明：(Ⅰ)0＜a_n+1＜a_n＜1；(Ⅱ)a_n+1＜a_n³．

      证明  (Ⅰ)先用数学归纳法证明0＜a_n＜1，n=1，2，3，…．

(ⅰ)当n=1时，由已知，结论成立．

(ⅱ)假设当n=k时结论成立，即0＜a_k＜1．

因为0＜x＜1时f′(x)=1-cosx＞0，

所以f(x)在(0，1)上是增函数．又f(x)在[0，1]上连续，

从而f(0)＜f(a_k)＜f(1)，即0＜a_k+1＜1-sin1＜1．

故当n=k+1时，结论成立.

由(ⅰ)、(ⅱ)可知，0＜a_n＜1对一切正整数都成立．

又因为0＜a_n＜1时，a_n+1-a_n=a_n-sina_n-a_n=-sina_n＜0，

所以a_n+1＜a_n.综上所述0＜a_n+1＜a_n＜1.

（Ⅱ）设函数g（x）=sinx-x+x³，0＜x＜1.

由(Ⅰ)知，当0＜x＜1时，sinx＜x.

从而g′（x）=cosx-1+=-2sin²+＞-2（）²+=0.

所以g（x）在（0，1）上是增函数.    又g（x）在［0，1］上连续，且g（0）=0，

所以当0＜x＜1时，g（x）＞0成立.于是g（a_n）＞0，即sina_n-a_n+a_n³＞0.

故a_n+1＜a_n³.