三、解答题
(19)(本小题满分13分)
如图,在四棱锥中,
底面
,
为直角,
,
、
分别为
、CD的中点。
(Ⅰ)试证:平面
;
(Ⅱ)设PA=K·AB,且二面角的平面角大于
,求
的取值范围。
解法一:
(I)证:由已知且
为直角,故
是矩形,从而
,
又底面
,
,故由三垂线定理知
,在
中,
、
分别为
、
的中点,故
,从而
,
由此得面
.
(II)连接AC交BF于G,易知G为AC的中点,连接EG,则在中易知
EGPA,又因PA
底面ABCD,故EG
底面ABCD,在底面ABCD中,过G作
GHBD,垂足为H,连接EH,由三垂线定理知EH
BD,从而
为二面
角E-BD-C的平面角。
设,则在
中,有
以下计算,考虑底面的平面图(如答(19)图2)。连接
,
因
故
在中,因
得
而
从而得
因此
由知
是锐角,故要使
,必须
解之得,的取值范围为
解法二:
(I)如图,以为原点,
所在直线为
轴,
所在直线为y轴,
所在
直线为轴建立,空间直角坐标系,设
,则易知点
的
坐标分别为
从而
故
设则
而
为
中点,故
从而
故
由此得面
.
(II)设在
平面上的射影为
,过
作
垂足为
,
由三垂线定理知,从而
为二面角
的平面角。
由得
,
设,则
,
由得
,即
①
又因,且
与
的方向相同,故
,即
②
由①②解得,从而
,
由知
是锐角,由
,得
,即
故的取值范围为
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