解答题
(21)(本小题满分14分)
已知mÎR,设P:和
是方程
的两个实根,不等式
对任意实数
Î[-1,1]恒成立;
Q:函数在(-¥,+¥)上有极值
求使P正确且Q正确的m的取值范围
解:(Ⅰ)由题设和
是方程
的两个实根,得
+
=
且
=-2,
所以,
当Î[-1,1]时,
的最大值为9,即
£3
由题意,不等式对任意实数
Î[1,1]恒成立的m的解集
等于不等式的解集
由此不等式得
①
或
②
不等式①的解为
不等式②的解为或
因为,对或
或
时,P是正确的
(Ⅱ)对函数求导
令,即
此一元二次不等式的判别式
若D=0,则有两个相等的实根
,且
的符号如下:
|
(-¥, |
|
( |
|
+ |
0 |
+ |
因为,f()不是函数f(
)的极值
若D>0,则有两个不相等的实根
和
(
<
),且
的符号如下:
x |
(-¥, |
|
( |
|
( |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
因此,函数f()在
=
处取得极大值,在
=
处取得极小值
综上所述,当且仅当D>0时,函数f()在(-¥,+¥)上有极值
由得
或
,
因为,当或
时,Q是正确得
综上,使P正确且Q正确时,实数m的取值范围为(-¥,1)È
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