解答题
(20)
(本小题满分12分)
如图,已知长方体,
,直线
与平面
所成的角为,
垂直
于
为
的中点.
(Ⅰ)求异面直线与
所成的角;
(Ⅱ)求平面与平面
所成二面角(锐角)的大小;
(Ⅲ)求点到平面
的距离
(考查知识点:立体几何)
解法一:(向量法)
在长方体中,以
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系如图.
由已知
,可得
.
又平面
,从面
与平面
所成的角即为
又
从而易得
(Ⅰ)
即异面直线、
所成的角为
(Ⅱ)易知平面的一个法向量
设是平面
的一个法向量.
由
取
∴
即平面与平面
所成二面角(锐角)大小为
(Ⅲ)点A到平面BDF的距离,即在平面BDF的法向量
上的投影的绝对值
所以距离
所以点A到平面BDF的距离为
解法二:(几何法)
(Ⅰ)连结
,过F作
的垂线,垂足为K,
∵与两底面ABCD,
都垂直,
∴
又
因此
∴为异面直线
与
所成的角
连结BK,由FK⊥面得
,
从而 为
在 和
中,
由得
又,
∴
∴异面直线与
所成的角为
(Ⅱ)由于
面
由
作
的垂线
,垂足为
,连结
,
由三垂线定理知
∴即为平面
与平面
所成二面角的平面角
且,在平面
中,延长
与
;交于点
∵为
的中点
,
∴、
分别为
、
的中点
即,
∴为等腰直角三角形,垂足
点实为斜边
的中点F,即F、G重合
易得,在
中,
∴,
∴,
即平面于平面
所成二面角(锐角)的大小为
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面是平面
与平面
所成二面角的平面角所在的平面
∴面
在中,由A作AH⊥DF于H,则AH即为点A到平面BDF的距离
由AHDF=AD
AF,得
所以点A到平面BDF的距离为
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