解答题

18.（本小题满分12分）

    四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，

    平面VAD⊥底面ABCD

    1）求证AB⊥面VAD；

    2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

证法一：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VE⊥AD，而

面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB

又面ABCD是正方形，则AB⊥CD，故AB⊥面VAD

（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF

由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB

所成的二面角的平面角

设正方形ABCD的边长为a，

则在Rt△ABF中，,AB=a, AF=a，tan∠AFB =

故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为

证明二：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………1分

建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，………2分

则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），

V（0，0，），

∴……3分

由…………4分

……5分

又AB∩AV=A  ∴AB⊥平面VAD…………………………6分

   （Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量……………………7分

设是面VDB的法向量，则

……9分

∴，……………11分

又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为……12分

（II）证法三：由（Ⅰ）得是面VAD的法向量…………………7分

设平面VDB的方程为mx+ny+pZ+q=0,将V.B.D三点的坐标代入可得 

解之可得令q=则平面VDB的方程为x-y+Z+=0

故平面VDB的法向量是………………………………9分

∴，………………11分

又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为……12分